* 
Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
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A 
n ^ r Bir 
dx *< n, 
immer vorausgesetzt, dass A einen positiven Werth habe. 
In analoger Weise wird man offenbar für ein negatives A erhalten: 
A 
/sir 
ds < 0, 
und hieraus folgt, dass für jedes beliebige A, mag nun dasselbe positiv oder 
negativ sein, die Formel statt findet: 
(6.) 
absJ dx •< jr . 
u 
Hieraus folgt weiter, dass für zwei ganz beliebig gegebene (konstanten A und 
B, mögen nun dieselben gleiches oder verschiedenes Vorzeichen haben, stets die 
Formel gilt: 
(?•) 
a.bs j dx <2 n . 
A 
Dritte Bemerkung. — In der identischen Gleichung 
ß /* 
i^ dx = / (^L-) dx 
J Sin X J \sm XJ \ X / 
cc cc 
sei q eine beliebige Constante, während a und ß der Relation 0 a < ß < i.r 
unterworfen sein sollen. Alsdann wird die Function [vgl. den Satz (3.)] 
im Intervalle x = «.... ß stetig und monoton sein. Man erhält daher durch 
Anwendung des Du Bois’schen Satzes (Seite 33): 
/ sin qx ~ dx = -AL. 1dx + JL Idx, wo o < a < 4 < ß 
J S1U X sin CiJ X sin ßj X = - = = 
< 
oder, falls man in den Integralen rechter Hand statt x eine neue Variable y 
einführt mittelst der Substitution qx = y: 
/. iS 
”*M d x~-AL. 
J sin x sin aj 
S1 ^ dy + -JL dy, woO<a<i<ß<f. 
y sin ßj y = = = — 2 
qa q£ 
Hieraus aber folgt mit Rücksicht auf (5a.) und (7.) die merkwürdige Formel: 
(8.) fS 
sin 0 X 
—■—— dx < 2 n 2 , in welcher 0 < cc < ß < -£■ 
Sill X ■— — u 
sein soll, während q eine ganz beliebige Constante vor stellen kann. 
■■ W