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Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
Einer etwas anderen und noch einfacheren Behandlung ist das vor 
liegende Integral fähig, falls man voraussetzt, dass 0 nicht < a, sondern 
geradezu <. a sein solle. Nimmt man nämlich an, es sei 0 < a < ¡3 < ijr, 
so wird die Function sin a; im Intervall x — a . . . ß stetig und monoton sein. 
Man erhält daher mittelst des Du Boistschen Satzes: 
-r-i— / sin qx • dx -I—/ sin qx ■ dx ; 
sm kJ * 1 sin ßj - 1 
a 
a 
oder, was dasselbe ist: 
I sin qcc -j cos qcc 
^ cos qa — cos q | 
q sin cc 
wo o <*<:£<: ß ~. 
sin x q si 
q sin ß 
a 
Hieraus aber folgt sofort: 
a 
also a fortiori: 
4 
WO 0 < a •< ß < ~ 
(9.) 
(abs q) (sin «) ’ 
a 
ist, während q eine ganz beliebige Consfante vorstellt. 
Vierte Bemerkung. — Setzt man in den Formeln (8.) und (9.) die In 
tegrationsvariable x = 4 cf, ferner 2 a = y und 2/3 = 6, und setzt man end 
lich q = (2n + 1), wo n eine positive ganze Zahl sein soll, so nehmen jene 
Formeln folgende Gestalt an: 
ô 
(io.) 
falls 0 < y < â < n ; 
(11.) abs 
Diese Formeln (10.), (II.), in denen also n eine beliebige Zahl aus der Reihe 
0, 1, 2, 3, 4, ... vor stellen kann, werden uns weiterhin von Nutzen sein. Die 
für ihre Gültigkeit erforderlichen Bedingungen unterscheiden sich dadurch 
von einander, dass bei (10.) 0 < y, bei (11.) hingegen 0 < y notirt ist. 
§ 4. 
lieber die Fourier’sche Reihe. 
Auf einer Kreisperipherie vom Radius 1 mag der Centriwinkel cp, von 
einem festen Radius ans, nach der einen Seite von 0 bis ;r, nach der andern