I 
Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
39 
von O bis — x gerechnet werden; so dass also die Puncte cp = rr und q = — it 
untereinander identisch sind. Denkt man sich auf dieser Kreisperipherie irgend 
eine Function F{cp) ansgebreitet, und nimmt man an, dieselbe wäre in irgend 
einem Puncte q\ unstetig, jedoch endlich, so werden daselbst zwei Werthe zu 
unterscheiden sein, nämlich die Werthe F{q x — 0) und F(q t + 0). Des 
gleichen werden im Allgemeinen auch im Puncte q = 4- rr zwei Werthe 
vorhanden sein, nämlich die Werthe F{jt — 0) und F{— rr + 0). — Dies 
vorangeschickt gehen wir über zu unserer eigentlichen 
Aufgabe. — Nach unseren früheren, aber sehr unsicheren Betrachtungen 
(Seite 5) ist jede Function F{q) im Puncte q darstellbar durch folgende 
Formel: 
(1) F{q>i) = \ita n = xi I F(w) + 2 .^COS n{q> — qp|)| dcp . 
Fs fragt sich mm, oh und in welchen Fällen diese Formel (1.) wirklich correct 
ist. Zu diesem Zweck müssen wir das in der Formel anftretende Integral 
n “f" 71 
'2.) S n = —I F {cp) | 1 + 2 ^ COS 1l(cp — qp,') | d qp =J F{cp) h n {cp — qp,) dcp , 
— 7t — n 
welches für den Specialfall q v = 0 die einfachere Gestalt annimmt: 
+4 n F n 
GO ( = —J F {(p) |l + 2 cos Mqpj dcp = I F{cp) h n {cp) dcp , 
~~ 7t — n 
einer genaueren Untersuchung unterwerfen. Dabei sind zur Abkürzung die 
in den geschweiften Klammern enthaltenen Ausdrücke mit A ra (<p — qf), re- 
spective mit A„(<p) bezeichnet. Wir beginnen mit einigen einfachen Bemer 
kungen über die in (3.) enthaltene Function: 
GO A „(<p) = { 1 + 2 C0S GO + 2 cos ( 2 <P) 4- 2 cos (3qp) + + 2 COS (ncp) j • 
Multiplicirt man diese Function mit sin (), so ergiebt sich unter Anwen 
dung der bekannten Relation: 2 sin x cos y = sin {x ■— y) -f sin (x + y) sofort: 
A "<’ ,)8in (f) - -L { sin (I)+[™ (V) +,to ('?)]+[ si “ (F)+ si " (T). 
+ 
i f- /—(2n— l)qp\ . /(2n + i)qp\”h 
+ L Sm ( — ) + m (- 2 jj} 
oder, weil die Glieder rechter Hand, abgesehen vom allerletzten, sich paar 
weise zerstören: AJq) sin ~ ~ sin -- w1)rf , d. i. 
"\7 ' 2 27t 2 5 
(50 
A „G0 
sin (n -f- |) cp 
2 7t sin j qp