Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
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Beachtet man dies, und beachtet man überdies die frühere Formel (6.), so 
erhält man schliesslich: 
(19.) 
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ü m n=«>J F (v) M?) dtp = -£-F(+0), 
oder, mit Rücksicht auf die in (9.) eingeführte Bezeichnung: 
(20.) Km B _ « V n = ^F{+ 0). 
Und bei analoger Behandlung des Integrales U n wird man offenbar finden; 
(21.) lim* _ w U n =$F(—0). 
Somit folgt aus (9.): 
(22.) Hm M = w S H = * [F{- 0) + U(+ 0)) ; 
und wir gelangen also zu folgendem Resultat. 
Theorem. — Ile dm et man auf einem Kreise vom Badius Eins die Bogen 
länge (p von einem festen Anfangspunkte aus, nach der einen Seite hin von 
0 bis re, nach der anderen Seite von 0 bis — 7t, und denkt man sich längs 
dieser Kreislinie irgend eine Function F{q) ausgebreitet, welche auf dem ganzen 
Kreise (d. i. für q = — #... + #) abtheilungsweise stetig und ab- 
theilung sw eise monoton ist, so wird das Integral 
-{- 7t -}- Tt 
(A.) S n = YnJ F (<P) j 1 + 2 y cos «qp| dtp =J F{cp) A n {cp) dcp 
— 7t — 7t 
bei unendlich wachsendem n gegen eine bestimmte feste Grenze convergiren. Und 
zwar ist diese Grenze = ^ °1, d, i. gleich dem arithmetischen Mittel 
derjenigen beiden Werthe, welche die Function F{q) ' m Bunde q = 0 besitzt. 
Untersuchung des allgemeinen Integrals S n (2.). — Die beiden Integrale 
S n in (3.) und (2.), nämlich 
Y 
S n =J h n (cp) ■ F(cp) dcp , 
das specielle 
(23.) 
und das allgemeine S n == j A n {cp — cp,) ■ F{cp) dcp 
sind, schon äusserlich betrachtet, nur wenig von einander verschieden. 
Um die Sache noch deutlicher hervortreten zu lassen, wollen wir für 
den Augenblick uns vorstellen, die Function F{q) repräsentire die Dichtig 
keit einer auf der Kreislinie ausgebreiteten Massenbelegung. Alsdann reprä- 
sentirt offenbar F{q) dq ein Massenelement dieser Belegung (nämlich diejenige 
Masse, welche auf dem Bogenelement dq vorhanden ist). Jene Integrale S n 
(23.) repräsentiren also die Summe all’ dieser Massenelemente, jedes noch