Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
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lim ll = !a S n = Ficpi), für — n qp, < n; 
was übereinstimmt mit der zu prüfenden Formel (1.), Seite 39, d. i. mit 
derjenigen Formel, durch welche die Entwicklung von F{cpf) nach Kreis 
functionen dargestellt wird. 
§ 5. 
Fortsetzung. 
Nachträglich können wir das Theorem (B.) bedeutend vereinfachen durch 
Ablösung von der Kreisperipherie, und demselben folgende Gestalt geben. 
Einfachere Form des vorhergehenden Theorems. — Ist die Function F{cp) 
im Intervall cp = — ar . . . . + ar abtheilungsweise stetig und abtheilungs- 
iveise monoton, und versteht man unter cp l eine gegebene (konstante, so wird 
der Ausdruck 
+ n 
(C.) lim M = 00 / -F(qp) — cp¿d cp 
= F{n — 0) + F(— n -f- 0) oder = F{q> x — 0) + F(cp t + 0) __ F{n — 0) + F(— n + 0) 
sein, je nachdem 
qp, = — n , oder — n <1 qp, u , oder endlich qp, — n 
ist. Man sieht also, dass der Ausdruck in jedem der beiden Endpuncte des 
Intervalls — ar . . . . + ar dar gestellt ist durch das arithmetische Mittel derjenigen 
Werthe, tvelche die gegebene Function F{cp) in diesen beiden Fndpuncten be 
sitzt. — Dabei repräsentirt A„ (g — <p,) die [in (4.), (5.) Seite 39 angegebene] 
Function: 
(D.) 
(<P — qpj) = [l + 2^ cos n(cp — qp,)J 
sin (n + £) (qp — qp,) _ 
'27t • sin \ (qp — qp,) ’ 
also eine Function, die periodisch ist sowohl in Bezug auf cp, wie auch in 
Bezug auf cp l . Und zwar ist in beiden Beziehungen die Periodenlänge = 2ar. 
Um diesen Satz weiter zu verallgemeinern, denken wir uns die (abge 
sehen von den Bedingungen der abtheilungsweisen Stetigkeit und abtheilungs 
weisen Monotonie) im Intervall — ar . . . . + ar willkürlich gegebene Function 
F{cp) nach beiden Seiten periodisch fortgesetzt, der Art, dass in jedem der 
unendlich vielen Intervalle; 
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h G 
H 
1 I ■■ 
— Sn — n 71 3 71 
sich immer dieselben Werthe von Neuem wiederholen. Markirt man also 
z. B. zu beiden Seiten des Punctes (— .t) zwei Nachbarpuncte g, h, ferner