Die Fourier’sche Reihenentwicklung. 
47 
periodisch, bleiben also bei der Vertauschung von q x mit </ 2 umgeändert. 
Somit ergiebt sich folgendes 
Theorem. — Bezeichnet F{cp) eine periodische Function von der Periode 
2,t, und nimmt man an, dass diese Function ahtheilungsweise stetig und 
ahtheilungsweise monoton sei, so wird die Formel: 
(E.) lim n= “j F{cp) A„(<p - cp,) dep = jr(yi + 0) 
a 
ganz allgemein gelten, welche Werthe man den (konstanten a und q, auch 
zuertheilen mag. — Dabei hat A n {cp — qi) die in (D.) genannte Bedeutung. 
Markiren wir also z. B. zu beiden Seiten des Punctes a zwei Nachbar- 
puncte g, h, ebenso zu. beiden Seiten des Punctes (a + 2,t) zwei Nachbar- 
puncte G, II; so werden die Werthe des Ansdruckes (E.) in den beiden 
n I h G I H 
( 4.) 1—j—| 1—j— : 
a a + %n 
* 
Puneten a und (a + 2.t) respective durch \{F g -f- F h ) und 1 {F a -f- F fJ ) dar 
gestellt sein, und werden daher, weil F g = F Ct und F h = F n ist, identisch 
sein mit 1{F G -f- F,)*j. Beschränken wir uns also auf diejenigen Punete </,, 
welche dem Intervall a ... . {a + 2rr) angehören, so können wir den vorher 
gehenden Satz auch so aussprechen: 
Theorem. — Bezeichnet a eine beliebig gegebene Constante, und F(qj irgend 
eine Function, die im Intervall a .... {a -\~ 2jt) abtheilungsweise stetig 
und ahtheilungsweise monoton ist**), so ivird der Ausdruck 
a + 2 71 
(F.) = x j F{cp) A w (cp — cp,) d cp 
— ~4~ — 0) ~f~ Fja-\- 0) ofaf- _-Fi Vt — 0)4- F(cp, + 0)' 0( ^ er _ Fja -f- 2n — 0) -f- F[a -f- 0) 
sein, je nachdem 
cp, — a , oder « <C 9i <C (« + 2 jc) , oder endlich cp, = (a -f- 2 jt) 
ist. Man sieht also, dass der Ausdruck in jedem der beiden Endpuncte des 
betrachteten Intervalls a (a + 2 jt) gleich den arithmetischen Mittel der- 
*) Dabei ist stillschweigend vorausgesetzt worden, dass die Abstände der beiden Puncte g, h 
von a, und die Abstände der beiden Puncte G, H von (a2tt) alle ein und denselben unendlich 
kleinen Werth besitzen sollen. 
**) Die in dem vorhergehenden Satz vorausgesetzte Periodicität der Function F{cp) kommt offenbar 
hier, wo wir uns auf das Intervall a.,..(a + 2w) beschränken, nicht weiter in Betracht.