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Die Laplace’sche Reihenentwicklung. 
Function, die im Intervall q = 0 .... y ahtheilungsweise stetig und ab- 
fheilungsweise monoton ist, so gilt die Formel: 
(cos qx) dq J dx 
Y f (+ 0). 
Und diese Formel also ist es, durch welche die früher gefundene (unsichere und 
zweifelhafte) Formel (C.) Seite 11 ersetzt werden muss. 
Bemerkung. — Welche Wichtigkeit die Formeln (A.), (B.), (C.) besitzen, 
habe ich gezeigt in einem kleinen Aufsatz über die Melder’sehen Kegel 
functionen, der augenblicklich im Druck begriffen ist in den Mathemat. 
Ann. Bd. 18. Auch sind jene Formeln von grossem Nutzen für gewisse Unter 
suchungen über conforme Abbildung erkannt, worauf ich bei einer späteren 
Gelegenheit näher einzugehen gedenke. 
Uebrigens gestatten jene Formeln (A.), (B.), (C) allerhand kleine Ab 
änderungen. Ist z. B. 0 < ¡3 < y, und nimmt man an, die Function F{q) 
. . y überall = 0, so geht die Formel (A.) über in folgende: 
(cosqx) dq ) ( / $(q) • (cos qx) dq j j- dx = ~ J F[q) $(q) dq . 
sei im Intervall /3 . . 
ß 
F(q) 
Viertes Oapitel. 
Die Laplace’sclie, nach Kng’elfnnctionen fortschreitende Reihenentwicklung. 
Ich werde in diesem Capitel der Reihe nach zuerst Functionen von zwei, 
und sodann solche von nur einem Argument in Betracht ziehen; und dabei 
neben den berühmten Untersuchungen von JJirichlet namentlich auch einige 
neuere Untersuchungen von Du Bois-Reymond und Dini benutzen. 
Einige Eigenschaften der Kugelfunctionen. 
eine positive ganze Zahl, und y = abs (cosoj)''. Denkt man 
sich diese Gleichung geometrisch dargestellt durch eine Curve über der hori 
zontalen m-Axe (indem man die «’s als Abscissen, die y’s als die zugehörigen 
Ordinaten betrachtet), so wird offenbar diese Curve in den Puncten w = 0 
und oj = 3T die Höhe 1 erreichen, dazwischen aber überall von aerinaerer