198 Kapitel VII Die sphärisch-elliptischc Geometrie. 
Das einfache Ergebnis dieser Betrachtung ist: 
Die Geometrie auf der Kugel stellt, ohne irgend 
welcher Änderungen der Maßbestimmung zu be 
dürfen, diejenige Geometrie dar, wo die Winkel 
summe im Dreieck größer als zwei Rechte ist. 
Hiermit ist also auch das gesamte System der trigo 
nometrischen Formeln gegeben, die wohlbekannte sphärische 
Trigonometrie; ferner die Inhaltsbestimmung (der Inhalt des 
Dreiecks ist seinem sphärischen Exzesse gleich) usw. 
Bemerkung: Än all diesen einfachen Betrachtungen 
ist nur eines merkwürdig, nämlich daß sie erst angestellt 
werden, nachdem man die so sehr viel schwierigere hyper 
bolische Geometrie entwickelt hatte.*) — 
Die Sphärik ist übrigens bedeutend einfacher als die 
hyperbolische Geometrie. Wir haben nicht drei verschie 
dene Fälle der gegenseitigen Lage zweier nicht zusammen 
fallenden Geraden, sondern nur einen einzigen; wir haben 
nicht drei Arten von Zyklen, sondern wieder nur eine 
einzige; die kleinen Kreise auf der Kugel. Ebenso haben 
wir, statt der großen Mannigfaltigkeit von Kegelschnitten in 
der hyperbolischen Geometrie, nur eine Art. 
2. Die Flächen konstanten positiven Krüm 
mungsmaßes. * 2 ) 
Auf die Kugel vom Radius r abwickelbar sind die 
Flächen mit dem Krümmungsmaß 1: r 2 . Diese Flächen 
sind also ebenfalls Träger der sphärischen Geometrie, jedoch 
können auftretende Singularitäten die Beweglichkeit der 
Fläche in sich einschränken. 
Von den Rotationsflächen z. B., die durch die Glei 
chungen 
r = lcco$u, — & 2 sin 2 udu 
(x = r cosqp, y = rshup) 
gegeben sind, ist nur die Kugel (Ji = 1) vollkommen frei in 
x ) Die erste Darstellung gibt im Auschluß an Riemann 
(Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 
Ges. Werke, II. Aull. Leipzig 1892, S. 272—286) Helmholtz in 
demselben Vortrag, dem das auf S. 10 angeführte Zitat entnom 
men ist. 
2 ) S. S. XLIV, S. 139.