iy8 GÉOMÉTRIE. 
En second lieu, si le rapport de AE à AI ne peut 
s’exprimer en nombres, je dis qu’on n’en aura pas 
moins solid. AG ; sol ici. AL : : AE : AL Car, si cette 
proportion n’a pas lieu, supposons qu’on ait sol. AG : 
sol. AL ; ; AE : AO. Divisez AE en parties égales dont 
chacune soit plus petite que 01, il y aura au moins 
un point de division m entre O et I. Soit P le paral 
lélépipède qui a pour base ABCD et pour hauteur 
A m; puisque les hauteurs AE, km sont entre elles 
comme deux nombres entiers, on aura sol. AG : P : : 
AE : km. Mais on a, par hypothèse, sol. AG : sol. AL : : 
AE : AO ; de là résulte sol. AL : P ; : AO : km. Mais AO 
est plus grand que km; donc il faudrait, pour que la 
proportion eût lieu, que le solide AL fût plus grand 
que P. Or au contraire il est plus petit : donc il est 
impossible que le quatrième terme de la proportion 
sol. AG : sol. AL : : AE : .r, soit une ligne plus grande 
que AL Par un raisonnement semblable on démon 
trerait que le quatrième terme ne peut être plus petit 
que AI ; donc il est égal à AI ; donc les parallélépipèdes 
rectangles de même base sont entre eux comme leurs 
hauteurs. 
PROPOSITION XIII. 
THÉORÈME. 
fig. ai3. Deux parallélépipèdes rectangles AG, AK* 
qui ont même hauteur AE, sont entre eux comme 
leurs hases ABCD, AMNO. 
Ayant placé les deux solides l’un à côté de l’autre, 
comme la figure les représente, prolongez le plan 
ONKL, jusqu’à ce qu’il rencontre le plan DCGH sui 
vant PQ, vous aurez un troisième parallélépipède AQ, 
qu’on pourra comparer à chacun des parallélépipèdes 
AG, AK, Les deux solides AG, AQ, ayant même base