LIVRE VII. 
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ces cinq polyèdres existent réellement, et qu’on peut en 
déterminer toutes les dimensions lorsqu’on connaît une de 
leurs faces. 
PROPOSITION II. 
PROBLEME. 
Etant donnée l’une des faces d’mi polyèdre réguliers, ou 
seulement son côté, construire le polyèdre. 
Ce problème en présente cinq qui vont être résolus suc 
cessivement. 
Construction du tétraèdre. 
Soit ABC le triangle équilatéral qui doit être une des faces Cg- ^43- 
du tétraèdre ; au point O , centre de ce triangle, élevez OS 
perpendiculaire au plan ABC ; terminez cette perpendiculaire 
au point S , de sorte que AS:=: AB ; joignez SB , SC , et la 
pyramide S ABC sera le tétraèdre requis. 
Car, à cause des distances égales OA , OB , OC , les obli 
ques SA, SB , SC , s’écartent également de la perpendicu 
laire SO et sont égales. L’une d’elles SA —AB; donc les 
quatre faces de la pyramide SABC sont des triangles égaux 
au triangle donné ABC. D’ailleurs les angles solides de cette 
pyramide sont égaux entre eux, puisqu’ils sont formés cha 
cun avec trois angles plans égaux; donc celte pyramide est 
un tétraèdre régulier. 
Construction de l’hexaèdre. 
Soit ABCD un quarré donné : sur la base ABCD construi- %. 244. 
sez un prisme droit dont la hauteur AE soit égale au côté 
AB. Il est clair que les faces de ce prisme sont des quarrés 
égaux, et que ses angles solides sont égaux entre eux comme 
étant formés chacun avec trois angles droits ; donc cc prisme 
est un hexaèdre régulier ou cube. 
Construction de l’octaèdre. 
Soit AMB un triangle équilatéral donné : sur le côté AB £ g , 245. 
décrivez le quarré ABCD ; au point O, centre de ce quarré, 
élevez sur son plan la perpendiculaire TS , terminée de part 
et d’autre en ï et S , de maniéré que OT — OS == AO ;