NOTE II. 
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On suppose, dans tout ce qui précédé, que les surfaces se 
mesurent par le produit de deux lignes , et les solidités pur 
le produit de trois ; c’est ce qu’il est facile de démontrer 
aussi par voie d’analyse. Considérons un rectangle dont les 
dimensions sont p et q, et sa surface qui est une fonction 
de/? et q, i’eprésentons-la par (p : (/?, /). Si on considéré 
un autre rectangle dont les dimensions sontp-\~p' et q, il 
est clair que ce rectangle est composé de deux autres, l’un 
qtii a pour dimensions p et q, l’autre qui a pour dimensions 
p' et q ; de sorte qu’on aura 
<P : q)-9- (p■> q) +?:(/»'• q)- 
Soit /?'—/?, on aura <p(a/?,/)zz:2(p(/?, q). Soit p'— 
2 /?, on aura <p ( 3 p, q) = y{p, / ) -f- (p ( 2 /?, q) = 3 <p 
(/?,/). Soit/?'— 3 p, on aura cp(4/?,/) — <p(/?,/)-|- 
ç(3/?,/) — 4(p (/?, q). Donc en général, si/est un nombre 
entier quelconque, on aura <p (/ /?,/) m/- <p (/?, <7) ou 
9(p»î7) ?(*/>>?) ti . 1 .• 9(p*q) 
= . Il resuite de la que est une 
P h P P 
telle fonction de/?, qu’elle ne change pas en mettant à la 
place de p un multiple quelconque //?. Donc cette fonction 
est indépendante de/?, et ne doit renfermer que q. Mais 
(p (p, q ) 
par une raison semblable-!— —doit être indépendante 
de q ; donc ^ ^ ^ - ne renferme ni p ni et ainsi cette 
pq 
quantité doit se réduire à une constante a. Donc on aura 
©(/?/)—»/?/; et comme rien n’empêche de prendre 
rzzi , on aura (p (p, q') —p q ; ainsi la surface d’un rec 
tangle est égale au produit de ses deux dimensions. 
On démontrerait, d’une maniéré absolument semblable, 
que la solidité d’un parallélépipède rectangle dont les di 
mensions sont /?,/,?*, est égale au produit p q r de ses trois 
dimensions. 
Nous observerons, en finissant, que la considération des 
fonctions , qui fournit ainsi une démonstration très-simple 
des propositions fondamentales de la Géométrie, a déjà été 
employée avec succès pour la démonstration des principes 
fondamentaux de la Mécanique. Voyez les Mémoires de 
Turin, tome II.