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-f-c- 
N O T E V. 
Celte valeur donne AB — BD ou AD rr c 3 
— b 2 \ 2 ^ a 3 c 3 — (a 2 -j~c 3 — b 2 y 
\ 2 a 
V/[4 a 2 c 2 • 
4 a 2 
; donc AD 
[a 2 
Soit S Faire du triangle, 
on aura S BC X AD ; donc 
S=j\/[[\a 2 c 2 —(a 2 +c 2 ~ h 2 y\=~\/(pa 2 h 2 +ia 2 c 2 +ib 2 c 2 a i —ô 4 — c 4 ) 
Cette formule peut encore se réduire à une autre forme 
plus commode pour le calcul logarithmique ; pour cela il 
faut observer que la quantité 4a 2 c 2 — (a 3 c 2 — b 2S ) 2 est 
le produit des deux facteurs 2 ac-J- (a 2 -f- c 2 — b 2 ) et 2 ac— 
(a 2 -)-<r — b 2 ) ; le premiers (a -J-c) 2 — b 2 — (ac b) 
(<2+c—b) ; le second— b 2 —[a—c) 2 ={b+a—c) (b—zz+c); 
donc on aura 
S—~\Z[{a-\rb~\-c) O+è—c) (zz-f-c—b) + c — zz), 
a + b+c 
Enfin si on fait —p, ce qui donne a-\-b-\-c—ip, 
2 
a-\-h—c—ip—2c, a-\-c—bzzzip—2b, b-\-c—a—ip—2zz, 
on aura encore plus simplement 
S — \/{p.p —a.p — b.p — c). 
D’où l’on voit que pour avoir la surface d’un triangle dont 
les trois côtés sont donnés , il faut prendre la demi-somme 
des trois côtés, de cette demi-somme retrancher successive 
ment chacun des côtés , ce qui donnera trois restes , multi 
plier ces trois restes entre eux et par la demi-somme des 
côtés, et enfin extraire la racine quarrée du produit ; cette 
racine sera Faire du triangle. 
Soient maintenant z le rayon du cercle circonscrit au 
triangle , et u le rayon du cercle inscrit dans ce même tri 
angle, on aura suivant la prop. xxxn, liv. ni, 
j abc 
et u 
2 S 
S zz —j— b —f— c 
valeur trouvée de S , il viendra 
t abc 
- ; donc en substituant la 
P 
l/{j>p — a.p 
OhG 
- ,«= l/r 
p — b.p — c) \ 
P—a.p—b .p—c 
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