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NOTE V,
PROBLEME V.
Les mêmes choses étant données que dans le problème
précédent, trouver Vexpression de la diagonale qui joint
deux sommets opposés.
278. Soit la diagonale de la base SPzzz et la diagonale
cherchée ST zz u ; le triangle ASP dans lequel cos SAP
—: — cos y , donnera z*—f*-\-g* -|- ifgcos y; pareillement
Je triangle TSP dans lequel cos TPSzz—cos CSP, don
nera m 2 zz z 2 A 2 -j- ihz cos CSP. Il ne s’agit plus que
d’avoir le cosinus de l’angle CSP ou de l’arc FH : or
dans le triangle sphérique E F H , on a cos F H zz
cos EF cos EH-J-sin EF sin EH cos E; substituant les
cos g — cos a cos y
valeurs EF izza et cos E :
, il viendra
sin a sin y
sin EH
cos FHzzr cos a cos EH-| (cos g — cos a cos y ) zz_
sin y
sin EH cos g sin (y — EH), cos a sinEHcosg+sinDHcosa,
sin y sin y sin y
Donc 2 h z cos F H , ou %hz cos CSP zzi 2 h cos g.
z sin EH z sin DH .
—: h2h cos a. —: . Mais dans le triangle ESP
sin y sin y
SP sin ESP
on a BP zz —:—— et BS :
SP sin BPS
z sin EH
sin SBP
z sin DH
sin SBP
, ce qui donne
i/et
zz g. Donc 2 hz cos CSP zz 2 fh
sin y sin y
cos g -J- 2 gh cos a. Donc enfin le quarré de la diagonale
cherchée :
«* z=zf - g- -|- 2fg cos y 4-2fh cos g + 2gh cos a.
Corollaire. L’angle solide A est formé par les arêtes
f, g, h, faisant entre elles deux à deux les angles 200 0 —y,
200 0 —g, a; ainsi il suffit de changer les signes de cos y et
cos g dans l’expression de SE pour avoir celle de AM.
Faisant de même pour les deux autres diagonales, on aura
les valeurs de leurs quarrés comme il suit :