NOTE XII. 
33o 
nombre de signes moindre dans chaque série, à raison de 
l’invariabilité de quelques angles). Si la figure représente 
l’état initial du polygone, la diagonale GD devra augmen 
ter lorsqu’on augmentera tous les angles A, B, C, ou seule 
ment quelques-uns d’eux; mais la même diagonale GD, 
comme appartenant au polygone GFED, dont les auti’es 
côtés sont constants, devra diminuer en même temps que 
les angles F et E, ou au moins rester constante, si des 
quatre angles D, E, F, G, il n’y a que D et G, ou seule 
ment l’un d’eux qui diminue ; donc l’hypothese dont il 
s’agit ne saurait avoir lieu; donc la variation des angles 
ne peut être telle, qu’elle offre seulement deux séries, l’une 
de signes -f-, l’autre de signes —. 
3° Il est encore impossible qu’en faisant le tour du poly 
gone , on ne trouve que trois séries alternatives de signes -f- 
et de signes — ; car, dans cette hypothèse, la première et 
la troisième série seraient de même signe, et se suivraient 
immédiatement, de sorte qu’elles ne formeraient qu’une 
seule série ; d’où l’on voit qu’il n’y aurait réellement dans 
le tour du polygone que deux séries, l’une de signes +, 
l’autre de signes — ; ce que nous avons démontré impos 
sible. 
Donc enfin, les changements de signe qu’on trouvera 
en faisant le tour du polygone, doivent être au moins au 
nombre de quatre. 
Corollaire. Ce que nous venons de démontrer pour les 
polygones sphériques, s’applique immédiatement aux angles 
solides dont ces polygones sont la mesure. Ainsi, étant 
donné un angle solide convexe, qui assemble plus de trois 
angles plans, si on fait -varier les inclinaisons sur les arêtes 
d’une maniéré quelconque, telle cependant que l'angle 
solide ne cesse pas d'être convexe • si ensuite on met le 
signe -f- ou le signe — sur chaque arête, selon que l'in 
clinaison sur cette arête augmente ou diminue, et qu'on 
ne marque d'aucun signe les arêtes sur lesquelles l'incli 
naison reste constante, je dis qu'en faisant le tour de 
l'angle solide, on devra trouver au moins quatre change 
ments de signe d'une arête à La suivante. 
Au moyen de cette proposition et du théorème d’Euler