NOTE XII- 
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Pour chaque face quadrangxdaire, le nombre des chan 
gements de signe est de quatre au plus , ce qui est évident. 
En général, si le nombre des côtés d’une face est pair 
z=.in, le plus grand nombre des changements de signe 
qu’on puisse trouver en faisant le tour des côtés, est in; 
ce qui aura lieu lorsque les côtés portent alternativement 
les signes -f- et —. 
Mais si le nombre des côtés d’une face est impair, 
= 2«-f-x, le plus grand nombre des changements de 
signe sera 2n seulement, parce qu’en donnant alternati 
vement aux côtés les signes -J- et —, le premier et le der 
nier auront nécessairement le même signe ; ce qui fait un 
changement de moins qu’il n’y a de côtés. 
Cela posé, soit a le nombre des triangles, h le nombre 
des quadrilatères, c le nombre des pentagones, etc. qui 
composent la surface du polyèdre donné, il résulte de ce 
qu’on vient de dire, que le nombre total des changements 
de signe observés en faisant le tour de chaque face, ne 
pourra excéder 1 a sur les faces triangulaires, \b sur les 
faces de quatre côtés, 4 e sur celles de cinq côtés, 6d sur 
celles de six côtés. Donc on aura : 
N < 2«-+- 4 h 4 c 6d 6e -f- 8/" -f- 8 g - -f- etc. 
Soit A le nombre des arêtes du polyèdre, et H celui de ses 
faces, on aura : 
2 A — 3 « -{- 4 ^ + 5 c -f- 6 rf -f- 7 e -f- 6f-f- 8 g- -f- etc. 
Km etc. 
Mais suivant le théorème d’Euler, S -f- H = A -f- 2 ; donc 
4S = 8-f- 4 A — 4 H , et en faisant les substitutions : 
4S = 8-f-2rt + 4ô-h6c + 8(r/-i-ioe-l- etc. 
Comparant cette valeur à la limite trouvée ci-dessus, on 
en tire : 
N < 4 S — 8. 
Mais on ne saurait avoir à-la-fois N >4$ et N < 48 — 8; 
donc il est impossible que les inclinaisons sur les arêtes du 
polyèdre varient toutes à-la-fois, sans détruire la cohé 
rence des plans qui forment la surface du polyèdre. 
Second cas. 
Supposons maintenant que les inclinaisons sur les arêtes