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la partie BHLK est égale au rectangle EDGF, car 
BIL=DE et BK=EF ; donc AKLE—ABHE-f-EDGF. 
Or, ces deux parties forment le quarré ABIF moins 
le quarré DHIG, qui est le quarré fait sur BC ; donc 
enfin (AB-4-BC) X (AB — BC) =ÂB—BC " 
Scholie. Cette proposition revient à la formule 
dalgebre (a-\-h) (a — b)=:a 2 -—b 2 . 
PROPOSITION XL 
THÉORÈME. \ 
Le quarré fait sur Vhypoténuse d’un triangle 
rectangle est égal à la somme des quarrés faits 
sur les deux autres côtés. 
Soit ABC un triangle rectangle en A : ayant formé 
des quarrés sur les trois côtés, abaissez de l’angle 
droit sur l’hypoténuse la perpendiculaire AD que 
vous prolongerez jusqu’en E ; tirez ensuite les diago 
nales AF, CIL 
L’angle ABF est composé de l’angle ABC plus l’an 
gle droit GBF : l’angle CBH est composé du même 
angle ABC plus l’angle droit ABH ; donc l’angle ABF 
mHBG. Mais AB = BH comme côtés d’un même 
quarré, et BF — BG par la même raison; donc les 
triangles ABF, HBC, ont un angle égal compris entre 
côtés égaux; donc ils sont égaux*. 
Le triangle ABF est la moitié du rectangle BDEF , 
(ou pour abréger BE) qui a même base BF et même 
hauteur BD *. Le triangle HBC est pareillement la 
moitié du quarré AH ; car l’angle BAG étant droit 
ainsi que BAL , AC et AL ne font qu’une même 
ligne droite parallèle à HB; donc le triangle HBC et 
le quarré AH, qui ont la hase commune BH, ont 
aussi la hauteur commune AB ; donc le triangle est 
la moitié du quarré.