DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
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Méthode d 3 approximation appliquée aux fondions ellip 
tiques de la troisième espèce. 
(85). Au lieu de conside'rer la simple formule H = f- —— 
V ' r J (l -+-718111» A 
qui appartient à la troisième espèce, nous considérerons plus géné- 
ralement la formule 
XT /V A i b sin2 <? N 
H -J \ A+ r+l^F f ) T- 
qui est composée d’une fonction de la troisième espèce et d’une de 
la première , affectées de coefficiens constans. Si on appliquait le 
calcul à la simple fonction H, la première transformée contiendrait 
une partie affectée de la fonction de première espèce F (c°, ç>°) ; c’est 
pourquoi il convient, pour l’uniformité des résultats, d’admettre les 
deux sortes de fonctions dans la formule primitive, ainsi que nous 
l’avons déjà fait pour les fonctions G (art. 76). 
Cela posé, si on fait sin 2 <p = ^ (1 -f- c°sin 2 <p 0 — A 0 coscp 0 ), et 
dtp 1 -f- c° dtp 0 . K , 
~ = —-— . — , on aura pour premiere transformée 
tt __ 1 ~i~ c ° pTTo t l B P cos 
2 L 1 -f- n J \ -j— 11° sin 2 ç° J ’ 
les valeurs de H a et de ses coefficiens étant 
B° sin 2 tp° \ 
1 -{- n° sin 2 tp°) 
dtp® 
A* 
„0 n Q -f c 2 ) 
(1 -f- 6) 2 (i -j-n) 
A°= A 
1 -f-72 
C 2 -f- 272 -f* 71 2 
2(1 + by (1 -f iTJ 2 * 
Ainsi la fonction H(ra, c, (p) est ramenée à une fonction sem 
blable H ( ?2°, c°, <p°), dans laquelle les trois élémens n , c, <p ont 
subi des changemens propres à faciliter les approximations. 
La même loi aura lieu dans les transformées ultérieures; de sorte