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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. iai
qui donnera u° = c°, n°°= c°°, etc. ; mais ce cas est inutile à con
sidérer, parce que d'après l’article 46, la fonction H se réduit alors à
la première espèce.
2 0 . Si n est négatif et plus petit que c*, ensorte qu’on ait
n=. — sin 2 9 , 011 pourra faire semblablement ?i° = — c oi sin 2 G°,
et l’angle 6° se déterminera par l’équation
tang ( 6°— G) = b tang S,
ce qui est la même loi suivant laquelle l’amplitude Calculant donc successivement 9°, G 30 , G°°°, etc. d’après cette loi ,
on formera la suite des paramètres /1°=—c 02 sin 2 G°, n°°=—c ooî sin 2 0 o °,
etc., qui décroît, comme on voit, avec encore plus de rapidité que
dans le premier cas.
Connaissant ainsi la loi de progression des paramètres n, venons
à celle des coefficiens A et B dans les transformées successives. Soit
pour abréger,
1 C 2 -f- 271 —J— 7Î 2 (l-J-ra) 2 —
‘ ~ Ô + A) a (1 + «)“ ;
et soit désigné par k° une quantité composée de c°, b* } n°, comme
k l’est de c, h , n, et ainsi de suite, on aura
B° = 4AB, B°° = | M°B, B 000 = ^№Â° a B, etc.
Mais puisqu’après un certain nombre fx de termes , les c y et n y pris
dans les suites c°, c°°, etc., «°, n°% etc., sont assez petits pour être
regardés comme nuis, il est clair qu’il en sera de même du terme
correspondant k y de la suite k, t, k°°, etc. , et qu’ainsi on peut faire
en toute sûreté B'*'^ o. Quant à la valeur de A y , elle sera donnée
par la suite
A 4-
IB
+
i -h n 1 + n'
+
i^°B
-f- etc.
qu’il faudra prolonger jusqu’au terme qui contiendrait k y exclu
sivement.
Appelons toujours 0) la limite des angles 2 4
limite étant censée atteinte après le nombre de termes jx , on aura
ç y z=2 y 0, et parce que c y est de l’ordre des quantités négligeables,
on aura H ' = 2 y A^O.
iG