DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
ou aura donc 
1S7 
n («', *, 9)- F (i, 0) = a. AF (i, 6) - «a/ 
sin cos<p 
dù sin 2 3 
WJ) 9 
d’où l’on voit que le premier membre se réduit à zéro, lorsqu’on fera 
ca=o, et qu’ainsi la supposition de <p=|7T donne cette formule 
A (b , 6) 
sin 6 cosò 
H 1 (/?, c) = -f- 
—F 1 ^) E(¿,6)—E 1 (V)F(¿, 8) 
(*)• 
Toutes les fois donc que le paramètre n est positif, la fonction com 
plète de troisième espèce IT(/z, c), pourra toujours se déterminer 
par des fonctions de première et de seconde espèce, savoir, par 
les fonctions complètes F'(c), E 1 (c), qui se rapportent au mo 
dule c, et par les fonctions non-complètes F (Z>, 6), E (b, 6), qui 
se rapportent au module complémentaire b, et dont l’amplitude 9 
se déduit du paramètre n par l’équation cot B = \/n. 
Ce théorème est très-important dans la théorie des fonctions 
elliptiques , et son usage sera d’autant plus étendu , que dans beau 
coup de problèmes de géométrie ou de mécanique , qui dépendent 
des fonctions elliptiques , on. n’a souvent besoin que des intégrales 
définies ou complètes. Nous en donnerons ci-après diverses ap 
plications. 
(97). Si dans Féqualion (’b') on met — à la place d en, et qu’on 
fasse — = cot 2 A, afin de mettre en même temps A au lieu de 6 S 
on aura 
sin À COS A 
-rfin A 
co S . A ^^) F 'W + F 'W F (^ A ) 
— F’(c) E (b, X) — E'(c) F {b, K). 
Mais, en vertu de l’équation c*=.n cot a A ou c tang 9 tang A = 1 , 
qui se rapporte au module bj on a (n° 18) F(¿,fl)-f-F(£,A)=F , (Æ), 
E {b, 6) + E (b, A) = E*(^) + b 1 sinÀ sinô; on a en même temps 
sin A 
eos3 
A 
A (M) 
sin S cos ô 
(6,6)’ C0SÀ — A (b,/.)’ — 
A(b,6) 
= \/et. 
sin A COS A 1