140 PREMIERS PARTIE. 
Supposons que l’angle 9, déduit du paramètre n, soit tel qu’on 
ait F ( b, 9 ) = /.F 1 (h) , k étant un nombre rationnel ; on aura par 
les propriétés connues , E (¿, 9) = ÆE' ( b) -f- V, et ü ( n, b , 9 ) 
= rr(ft', h) -f-W, les quantités Y et W étant déterminables, la 
première algébriquement, la seconde par arcs de cercle. 
Si maintenant on substitue ces valeurs dans l’équation (i ) , et 
qu’ensuite on mette pour O 1 (ri, h ) sa valeur déduite de la formule 
(k) , on aura , après les réductions, ce résultat très-simple 
A (Z», ô)-, . 
-7—r ¿n(ra, c, <p) 
sm 0 cos d v J ? t / 
WA(c,rt 
sxn <p cos <p 
D’où l’on voit que la fonction II peut alors se réduire indéfiniment 
aux fonctions de la première espèce, et la seule condition néces 
saire pour cette réduction, est que le paramètre n, représenté par 
cot 4 6, soit tel que le rapport de F (¿, 0 ) à F 1 ^) , soit rationnel. 
Ainsi nous avons encore pour ces réductions un symptôme général 
qui comprend une infinité de cas particuliers. 
Le cas de n — c qu’on a résolu n° 46? est compris dans le symp 
tôme général, puisqu'on faisant cot 2 8 = c, la valeur de 9 qui en ré 
sulte, est celle qui, appliquée au module h , donne F(ô, 9) = 4 F’(¿). 
Aussi en faisant k — \ et substituant les valeurs de V et W qui 
sont —c) , YY: 
sm <p cos $ 
aA 
arc tang. 
A cos <p 
sm <p cos <p 
(x-j-c) sin <p 
2 A 
X ■— arc tang. 
(i + c) tang ç 
on retrouve la formule 
7T F 
n(c) = |F + -^_arc tang 
(i-f c) tang <p 
SECOND CAS , ?l 
i -f- h 1 sin 4 9. 
(iool On aura dans ce cas,, — = 2û?8a (b. 9), i/et=—-- y -- 
v ' y a. \ ' J * v A( h 3 6) 
et l’équation générale du n° 94 deviendra 
i CO! 9 _ E s r M r S 
6) H — ''A(M) 1 J î 
(!—¿ 2 im 2 6) 
* . • „ r d6A(b,Q) 
*4- A sm 0 cos ® / —-—-—7„--„. ■.—. 
r r J cos 2 p ~j~ b z sm- ô sm 2 <p 
5 2 sin S cos S