i4* PREMIÈRE PARTIE. 
d’où l’on voit que la fonction complète de troisième espèce FI 1 (n, c), 
s’exprime généralement par des fonctions de la première et de la 
seconde espèce. 
Nous observerons que les formules (/') et (ni) auraient pu se 
déduire de celles qui ont été données art. 61,96 et 96; mais il 
n’était pas inutile de faire voir comment 011 pouvait y parvenir 
directement. 
La fonction non-complète FI (/z, c, <p) s’exprimera de même par des 
fonctions de la première et de la seconde espèce , si l’amplitude (p est 
telle qu’on ait F(<?, cp) = AF 1 (<?), A étant un nombre rationnel. Car 
alors on a n(;z_, c, (p) = An i («> cj + W, W étant une quantité 
déterminable par arcs de cercle. 
(102). Supposons que l’angle Q, déterminé par le paramètre 
n — — 1 + A a sin*9, soit tel que pour le module h on ait F (A, G) 
c= AF 1 (A), k étant rationnel ; alors on aura par les propriétés con 
nues ET (n, b , 6) = AH 1 (n 3 A) -f- W, W étant une quantité déter 
minable par des arcs de cercle. On aura en même temps E( b, 0 ) 
= AE 1 (A) + Y, Y étant une quantité déterminable algébrique 
ment. Il suffira donc d’avoir la valeur de Fl 1 ( ri, b ) où l’on a 
n' = A a tang* 
Pour cet effet, j’observe que la formule du n° 47 donne 
H 1 {ri, h) +n i (cot a cp,A) = F 1 (A) + 
rr sin <p cos q> 
2A\c, <p) s 
ensuite par la formule de l’art. 96, on a 
FT(cot*ip, A) = 
sin (p cos <p 
A(c, tp) 
j5+^ A ( c ’?) F 'W+ F W F ( c ’^ 
1 — E'(i)F( C ,l>) —F'(*)E(c,i>) 
Faisant toutes ces substitutions dans Féquation ( V ) et réduisant, 
on aura 
n(n,c, <p)=(i 
A(M) 
6 2 sin â cos fl 
y)F(c,(p) + 
A( c, (p) A (A , fl) 
6“ sin (p cos <p sin 6 cos Ô 
w. 
D’où l’on voit que la fonction de troisième espèce n(ii, c,<p) se 
réduira indéfiniment à la fonction de première espèce F(<?, <p) ; et 
la seule condition nécessaire pour cette réduction, est que l’angle G