DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. '145 
déduit du paramètre nz=.— 1 b a sin 2 9 , soit tel qu’on ail F (Æ, 9) 
= AF J (Z») , k étant un nombre rationnel. 
Ainsi dans le cas de « = — où l’on a sin 2 ô:=—b- cette 
l-j-C 7 
valeur de 9 est celle qui donne F(c, 0) = | F 1 (b) ; la réduction 
est donc possible. On trouve ensuite par les formules du n° 5y , 
V=K-i — c ) , W= arc tanglbTAb tan 6t. et substituant 
ces valeurs dans la formule de l’article précédent, on en tire 
n (— c ) == t F + ~T C a^ tan g « (l ~ ^ ! tan ~ » 
ce qui s’accorde avec la formule du n° 46. 
(io3). Si dans l’équation (/') on fait n=.— c 2 ou 9~\<tj* , on 
trouvera encore la même équation qu’au n° 48• Mais si on fait 
nz=.—1 étant supposé infiniment petit, on aura sin £ = ^ j 
ou 0 = ^, et la substitution faite en négligeant les puissances supé 
rieures de œ donnera 
fl 1 (rc,c) 
ÌT 
bu 
+ I’ 1 (o)-^E-( c ). 
Telle doit donc être la valeur de l’intégrale 
dp 
(cos 2 p -\-u' 2 sin 2 p) A 9 
lors- 
qu’on suppose co infiniment petit et <p = ^tt. 
Pour vérifier ce résultat par l’intégration directe, j’observe que h 
étant la valeur de A lorsque <p = on peut faire 
n = Ç 
J c 
dp 
cos 2 p -f- u' 2 iia 2 p 
i 4. f d< ? (1 
b 'J cos, 2 pa 2 &in 2 p 
La première partie a pour intégrale ~ arc tang ( co tang <p), et en 
faisant q> =. l rt, elle devient —La seconde partie se décompose 
en ces deux autres 
IJI r dp /4 . A y r K* sin 2 pdp /1. 1 \ 
J CJS 2 <p \ A b) 9 J cos 3 tp (cos 2 <p -f-<y 2 sin 2 (p) \b A/ 
Or en intégrant par parlies on a T c= tan g — 0 —c 2