DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 145 
Donc la formule generale pour le troisième cas, est 
cot0A(G_)[n («, ?)— F(?)]=cot tpA(tp) [n (n', 0) — F(fl)] 
+ E(ô) F (<p)— F (fl) E(<p) («')• 
On n’a pas ajoute' de constante , parce que la forme de l’equation fait 
voir que si 011 change en 0 et réciproquement, la constante devrait 
changer de signe, ce qui prouve quelle est nulle. 
(io5). Si dans la formule précédente on fait <p = 4 7r ’, on aura 
immédiatement 
n'(«)=F' + ^[F-E(fl)_E'F(0)] (/). 
Ainsi dans le troisième cas, comme dans les deux premiers, la fonc 
tion complète de troisième espèce IP(w), s’exprimera toujours par 
des fonctions de la première et de la seconde espèce. 
Il en est de même de la fonction non-complète U(n, c y ç) ou 
il («, <p), si l’amplitude (p est telle qu’on ait F(p) = ÆF l , k étant 
un nombre rationnel ; car alors on aurait H ( n , <p) = Art 1 
W étant une quantité déterminable par logarithmes. 
Il est remarquable que les formules (A ) et {p') qu’on vient de 
trouver pour le troisième cas, sont plus simples que les formules 
analogues pour le premier et le second cas, puisqu’elles ne con 
tiennent point les fonctions F et E relatives au module complé 
mentaire b. 
Remarquons encore que la valeur de IP (n) serait indéterminée 
si on avait 0 = | tî* ou « = —c 1 . Mais alors on a généralement 
pour toute valeur de <p , 
n ç— c *> <P) 
c 2 sin <p COS <p 
b a ù(<pj ; 
<et par conséquent lorsque =ìtt, on a 
n‘(-«•) = y E-. 
(106). Revenons à la formule générale (A), et supposons que 
l’angle 0, déduit du paramètre n = — c* sin a 0 , soit tel qu’on ait 
F(0) =/iF l , k étant rationnel; on aura alors E (0) = AE'-q-V, et 
*9