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PREMIÈRE PARTIE. 
U(n, 6) = AD 1 (//)-f- W, Y étant une quantité déterminable algé 
briquement , et W étant déterminable par logarithmes. Ces valeurs 
et celle de la fonction IP (n) tirée de la formule (//) étant substituées 
dans l’équation (n'), il en résultera 
D’où il suit que la fonction H (/z, <p) pourra être ramenée indéfini 
ment aux fonctions de la première espèce, si le paramètre satisfait 
à la condition mentionnée. Nous avons déjà donné ( n° 86 ) un 
symptôme semblable de réduction , mais celui qu’on vient d’indi 
quer est beaucoup plus général. 
Soit, par exemple, n=-— i -\-hz=.— c 3 sin 3 8, on aura sin*9 = —, 
ce qui donne F(9)=iF I . On a alors par les formules dun° 5y, 
E(8)=iE- + Ki—i). 
1 — b ) sin p COS p' 
A -p ( 1 — b ) sin p cos p, 
d’où résulte 
b) sin p cos p 
b) sin p cos p 
ce qui s’accorde avec la formule du n° 52. 
Nous terminerons ces recherches par une observation générale ; 
c’est que toutes les fois que la fonction de troisième espèce n est 
réductible indéfiniment aux espèces inférieures, elle est toujours 
réductible à la première espèce , c'est-à-dire, qu’elle s’exprime par 
la seule fonction F(c, (p). Il n’y a d’exception à cette règle générale 
que lorsque n - c 3 , et lorsque n = — \ 3 seuls cas où la fonction 
de seconde espèce E (<p) entre dans l’expression de H, ainsi qu’on le 
voit par les formules du n° /,8.