8 PREMIÈRE PARTIE.
puissances impaires de jr disparaissent dans les numérateurs , il
faudra qu’on ait
£ + » (p 4“ q) + fyq = °
A +> (P + 9) + W = °-
Ces deux équations donneront des valeurs rationnelles de p -f- q
et pq ; mais pour que p et q soient réels, il faut encore que
(p qy — ¿\pq, ou (p — q) 11 soit positif. Or, on peut distinguer
deux cas :
i°. Si la quantité cl + -f- yx* -f- etc. n’a pas tous ses facteurs
réels, on pourra supposer que X -{- 2jxx -f- vx* en contient deux
imaginaires, et qu’on a en conséquence Xv >• /¿*. Mais la seconde
des équations en p et q donne
(p - ?)• =-(*±œ - »)*+ ;
donc dans ce premier cas le second membre est positif, et les
valeurs de p et q seront réelles.
2°. Si la quantité cl -f- £x -f- etc. a tous ses facteurs réels, et
qu’en la décomposant en deux facteurs du second degré, comme
on vient de faire, il n’en résulte pas des valeurs réelles pour p
et q ; alors on observera qu’il y a deux autres manières de dé
composer la quantité du quatrième degré en deux facteurs du
second, et on peut être assuré que ces deux nouvelles combi
naisons donneront des valeurs réelles pour p et q. En voici la
démonstration.
Soient a, b, c } d les quatre valeurs de x qu’on a en faisant
R = o , les équations qui déterminent p et q pourront s’écrire
ainsi :
ah — \ (a + b) +P7 = °-
cd — i (c + d) (p -f- q) + pq = ° ,
et il en résulte
P + q
ab — cd
a -f- b — c — d*
a — c.a — d.b-
• c.b —d
(a q- h — c — d y
Or
a
