DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 169 
Nous obtenons ainsi sur les fonctions définies F' (c), F 1 (b) , 
E'Çc), E 1 (¿>) , les mômes rapports que nous avons déjà obtenus par 
une voie plus simple. Quant aux fonctions indéfinies F ( c , <p ) , 
E (b, a>), E(c,<p),E(£,«), elles ont entre elles les relations 
Comprises dans les deux équations 
F(c,<p) = ii-[F(*,«)+ÎF'(*)], 
(«}] - (w) t F ( c > *) - i ^C«)] + * 
= E (b, «) - 22. OH-1)F (b, -)•+ il, 
<1? et £1 étant des fonctions algébriques connues, l’une de sin }<p, 
l’autre de sin 4 oo • d’où l’on voit que les fonctions F(c, <p), E (c, <p) 
relatives au module c , peuvent s’exprimer indéfiniment par les 
fonctions F( h y où) , EÇby te) y relatives au module complémentaire b. 
Des séries qui donnent, sans transformations y les valeurs 
approchées des fonctions elliptiques. 
(120). Il peut être nécessaire dans plusieurs cas, surtout dans 
les problèmes de mécanique, d'exprimer par la seule variable <p les 
fonctions elliptiques dont ces problèmes dépendent. Alors le déve 
loppement se fera de la manière connue; mais les méthodes pré^- 
cédentes serviront toujours à simplifier beaucoup la détermination 
des coefficiens. 
Considérons d’abord la fonction F = J'--, et supposons—^: 
A — 2B cos 2<p -j- 4C cos 4<P — 6D cos 6<p + etc. , afin qu’il en 
résulte 
F = A<p — B sin 2<p -j- G sin 4<p — D sin 6p -j- etc. 
Il s’agit d’avoir le plus simplement qu’il est possible, les valeurs des 
coefficiens A, B , C, etc. Or par un premier développement on a 
- = i4-l c*sin a Æ-{- — c 4 sin 4 <p + ——7—5 c s sia fi (p -f- etc. 
A 'a r ' 2.4 2.4.0 
Mellant ensuite au lieu des puissances des sinus, leurs valeurs eu