DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i85 
Dans la méthode précédente, nous avons partagé l’ellipse qui 
sert de base à la surface proposée, en zones elliptiques concen 
triques, déterminées par les projections des sections faites dans 
l'ellipsoïde , parallèlement à sa base. Toute autre manière de par 
tager la base est également admissible et doit conduire au même 
résultat après les deux intégrations ; mais il en est une surtout 
qui mérite d’être soumise au calcul, et qui semble promettre des 
résultats élégans. Je veux parler des projections qui naissent des 
lignes de plus grande et de plus petite courbure tracées sur la 
surface de l’ellipsoïde. 
Monge, dans ses Feuilles d’Analyse appliquée (édit, de l’an g, 
n° 19), a donné la construction de ces courbes, comme il suit. 
Ayant supposé a^> b ei b c 9 soit pris pour plan de projection 
le plan des x etj", qui est celui de la section principale dont a 
et b sont les demi-axes. Soient décrites dans ce plan une ellipse et 
une hyperbole auxiliaires, qui aient les demi-axes communs A et 
B ainsi déterminés , 
le demi-axe A étant dirigé dans le sens du demi-axe a } et B dans 
le sens de b. 
B a 
L’équation de l’hyperbole sera y* =—-(x*-— A*), et l’équation 
B 2 
de l’ellipse, y x — — (A 2 —x 1 ); elles se toucheront par le sommet 
où x = A, et d’ailleurs on peut observer qu’en vertu des sup 
positions faites on a A < a. 
Cela posé, soient jc = a, / = £ , les coordonnées d’un point pris 
B 2 
à volonté sur l’hyperbole, ensorte qu'on ait é’ a = —(a 3 —A 3 }; si, 
avec les demi-axes a etê, pris dans les mêmes directions que a et b, 
on décrit une ellipse, cette ellipse et toutes les ellipses décrites de 
la même manière suivant les diverses valeurs de et et £, avec la 
seule condition qu’on ait a < a , seront les projections sur le plan 
des xety, de toutes les lignes de courbure d’une même espèce , 
tracées sur la surface de l’ellipsoïde. 
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