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PREMIÈRE PARTIE. 
Une pareille simplification aura lieu en général pour la formule 
r ( yx-— et ) dx 
(yx* -j- ex 2 -j- et j pq * ~h + yx x ) * 
( yx-— a. ) dx 
-f- ex 2 -j- et J et 4- Çx 2 
car si on fait le radical yx*) z=px, cette formule 
deviendra j q~t~ > réduction fort remarquable et analogue à 
celle qui sert de base à la formule du n° 46. 
L’integrale Í 3- — que nous venons de déterminer 
dans ses deux différons cas, se trouve mentionnée, page 116, dans la 
liste que Fuss a donnée des ouvrages d’Euler; mais le mémoire qui 
la concerne n’a pas encore été publié. Nous avons voulu faire voir 
par un exemple aussi remarquable , que la théorie des fonctions 
elliptiques conduit d’une manière sûre aux expressions les plus 
simples des intégrales qui s’y rapportent. 
(144). Indépendamment des deux cas dont nous venons de parler, 
il y en a un troisième où l’intégrale Z ne dépend que des arcs de 
cercle et des logarithmes. C’est celui où l’on aurait 
intégrale qui se rapporte à la formule générale du n° 13g, en 
faisant v z=z 1, /x — jet a 3 = — 4’ O n 116 saurait alors éviter de 
rencontrer dans l’intégrale P des fonctions elliptiques dont le pa 
ramètre est imaginaire ; mais la réduction de ces intégrales conduira 
à un résultat entièrement indépendant des fonctions elliptiques. 
Nous n’entrerons point dans le détail de ces réductions, et nous 
nous bornerons à prouver par une autre voie , que l’integrale Z peut 
être déterminée par les arcs de cercle et les logarithmes. 
Pour cet effet, soit 1 ~\~z % = 4./% on aura la transformée 
Mais si on considère l’intégrale 
i/3-\ZC4f-O ’ 
sy \/J5 t 2 dt 
y yy 
dt tdy 
donc 
c*-o T