DES INTÉGRALES EULÉRIENNES. 227
(5). Les formules (c) et (d) dorment les valeurs exactes de la
fonction ? toutes les fois que l’un des deux nombres p et <7 ou
leur somme est e'gale à n. Supposons maintenant qu’on connaisse
de plus toutes les valeurs de lorsque p~\-q=:n~~ 1, et dési
gnons en général par A a la fonction Ç-—^, ensorte qu’on ait
( 2 _ | _ 1 ) =a> co .
On aura donc successivement (~~~) = A, , ^ A a j
(\ ~~ A 3? etc * ? et P arce S 116 = j 011 aura a ussi
(“Ts) = A »> etc -i donc en général
A C n —i_,*)= A a «.. .(g).
D’où l’on voit que le nombre des auxiliaires A t , A a , A 3 , etc., se
réduit toujours a ~~ ou selon que n est pair ou impair.
Par exemple, si n — q, il y aura trois auxiliaires A, = ^y^,
A a = f-)’ A s=(|)> puisqu’on aurait A 4=Q)= A a > et A 5 =
Si n = 8 , il n’y aura encore que trois auxiliaires A, , A a , A 3 ;
car on aurait, en vertu de l’équation (g), A 4 = A 3 , A 5 = A a ,
A 5 A,.
Cela posé, au moyen des équations (c), (d), (e) et des auxiliaires
données par l’équation (f),nous pourrons trouver l’expression
générale de Ç-j dans deux cas généraux, i°. lorsque p-q est
■< n ; 2 0 . lorsque p + <7 est > n. Voici comment on y parvient.
(6). L’équation (e) donne immédiatement Ç-—^—-J .
s= ( n — ° substituant dans celle-ci les valeurs con-