DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i5.
Nous appellerons désormais fonctions ou transcendantes elliptiques,
les intégrales comprises dans cette formule. La transcendante H sera
supposée s’évanouir ou commencer lorsque
sera déterminée par la variable
constante c, toujours plus petite que l’unité, s’appellera le module ;
enfin |/(i — c 2 ) que nous désignerons constamment par pourra
s’appeler le complément du module.
La quantité H, lorsqu’on ne considère que la variabilité de ,
peut se désigner par H (
module et de l’amplitude, on peut la représenter par H (
et ainsi de suite , si on voulait avoir égard à l’inégalité des coef-
fîciens.
(12). Il suffit de connaître toutes les valeurs de H, depuis
jusqu'à cp = 90 o = ^ , et on connaîtra facilement la valeur de cette
transcendante pour une amplitude quelconque. En effet , soit
on aura
Il en est à cet égard de la fonction H comme des arcs d’ellipse
et en général des arcs de toutes les courbes ovales composées de
quatre parties égales et semblables : un arc, quelque grand qu’il
soit., et renfermant, si l’on veut, plusieurs circonférences, s’exprime
toujours sans difficulté par le quart de la courbe et une portion de
ce quart. La fonction déterminée H est en quelque sorte l’unité
des fonctions H , ou la fonction devenue complète ; nous la dési
gnerons par H 1 .
Il ne paraît pas que la fonction H , prise dans toute sa généralité,
puisse se réduire à des arcs d’ellipse ; cela n’a lieu que lorsque
n = o , ou lorsque quelque substitution peut faire disparaître le
dénominateur 1 -}-/z sin 2
général. Ainsi la dénomination de fonction elliptique est impropre
à quelques égards ; nous l’adoptons néanmoins à cause de la grande
analogie qu’on trouvera entre les propriétés de cette fonction et
celles des arcs d’ellipse.
