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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

8
PREMIÈRE PARTIE.
à l’arc d’hyperbole T, pour en faire l’une des trois espèces de
fonctions elliptiques, et que même cette fonction doit être
A
considérée comme plus simple que l’arc d’ellipse fAciç.
En effet, on prouvera ci-après que la fonction F peut s’exprimer
par deux arcs d’ellipse ; mais l’inverse n’a pas lieu , et un arc
d’ellipse ne peut pas s’exprimer par deux fonctions telles que F ,
ce qui indique déjà que la fonction E est d’une nature plus com-
posée que la fonction F. Mais cette conséquence se manifeste plus
clairement encore par l’examen des propriétés respectives de ces
fonctions.
La propriété la plus remarquable des fonctions F , est qu’on peut
déterminer par des opérations purement algébriques , une fonction
égale à la somme ou à la différence de deux autres fonctions ; d’où il
suit qu’on peut déterminer algébriquement une fonction multiple ,
sous-multiple ou en général qui soit dans un rapport rationnel avec une
fonction donnée ; propriété que les fonctions F partagent avec les
arcs de cercle et les logarithmes ^ et qui a lieu quand même ces
fonctions, considérées comme des intégrales ou des arcs de courbe ,
n’auraient pas l’origine commune

points quelconques.
Les arcs d’ellipse et les arcs d’hyperbole sont de toutes les autres
transcendantes, celles qui approchent le plus de jouir de la même
propriété, mais elles n’en jouissent pas d’une manière absolue.
Ainsi deux arcs étant donnés sur l’une de ces courbes , à compter
du môme point où q> — o, on peut trouver algébriquement, non
pas un arc égal à leur somme , mais un arc égal à cette somme, plus
ou moins une quantité algébrique , ce qui prouve que les arcs T
et E sont d’une nature plus composée que les fonctions F. On
doit donc regarder ces dernières comme tenant le premier rang après
les arcs de cercle et les logarithmes (*).
( T ) Ces fonctions réunissent un si grand nombre de propriétés , que quand elles
seront plus généralement connues, on jugera sans doute nécessaire de leur imposer
vin nom particulier, et de désigner la fonction de c et