*4 PREMIÈRE PARTIE:
naître une troisième fonction F (fi) qui soit égale à leur différence ,
cnsorte qu’on ait
*(*)-* (4) —FO),
la solution de ce problème se déduira aisément de celle du problème
précédent, et on aura pour résultat les formules
sin <p cos 4 A (4) —sin 4 cos ? A ( <p )
1 C 2 sin 2 (p sin 2 4
cos ® cos 4 “h sin sin 4 ^ (<p) A (4)
1 C 2 sin 2 <p sin 2 4
A (<p) A (4) -f - c 2 sin <p sin 4 cos <P cos 4
1 C 2 sin 2 ^l sin 2 4
tang (p A (4) — tang 4 A (<p)
i -f- tang <p tang 4 A (<f) A (4)'
Si dans cette dernière formule on fait tang <p' = tang <pA (4), et
tang 4' s= tang -s[/A (<p) , on aura fi=.p' — '4 -
Ces formules pour la différence se déduiraient des formules pour
la somme, en changeant simplement dans celles-ci le signe de 4? et
conservant A (4) positive. Il est inutile d’ailleurs de faire observer
l’analogie qui règne entre les valeurs de sin fi, cos fx, et celles de
sin ( <p ± 4 ), cos (p=b 4)} elles coïncideraient entièrement si l’on
avait c = o.
(20). Puisqu’on connaît algébriquement l’amplitude de la fonction
égale à la somme ou à la différence de deux fonctions données ,
il est clair qu’on peut trouver algébriquement une fonction multiple
d’une fonction donnée, et qu’en général on peut résoudre sur la
multiplication et la division des fonctions elliptiques de la pre
mière espèce , les mêmes problèmes qu’on résout sur la multipli
cation et la division des arcs de cercle. Désignons par <p„ l’amplitude
de la fonction qui contient n fois la fonction dont l’amplitude est ,
ensorte qu’on ait F (<p„)=«F ((p); il s’agirait d’avoir l’expression gé
nérale de sin et cos <p„, par le moyen de sin et cos <p.
Les cas extrêmes n’ont aucune difficulté. Si on a c=^o, alors
<p n r= np , et l’expression de sin <p„, ainsi que celle de cos <p„, se
déduisent de la formule connue
sin fl =
cos fi =
AO) =
tang;U=
Si
COS y/.— I .sin (pç = ( cos (p-f- y/— 1 sin<p) n .