Full text: Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures (1/3)

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
Ci 
Théorème sur les fonctions de -première et de seconde esjè ce, 
dont les modules sont complémens l’un de Vautre* 
(42). Dans les comparaisons qu’on vient d’établir entre les fonc 
tions F‘(c), E 1 (c), qui se rapportent au module c = ~ y/(2—U3) 
= sin 15°, et les fonctions F' (b) E 1 (b) , qui se rapportent au mo 
dule complémentaire b \/(a-f-v/3) = cos i5°, les trois équations 
trouvées conduisent à ce résultat remarquable 
l = F‘ (c) E 1 (b) + F 1 (b) E 1 (c)—F 1 (b) F 1 (c) (d') 
où l’on voit que les deux quantités b , c peuvent être échangées 
entre elles, et qu’ainsi cette équation est vérifiée dans deux cas , 
celui de c = sin i5% et celui de c= sin 7 5°. Il serait facile de dé 
montrer directement qu’elle est encore vraie dans deux autres cas, 
lorsque c est infiniment petit, et lorsque c = Ut — b ; mais nous 
allons prouver généralement qu’elle a lieu quel que soit c. 
Pour abréger la notation^ désignons simplement par F, E, les 
quantités F*(c), E l (c), et par F', E' les quantités F 1 (b), E 1 (è), et 
supposons 
P = FE' 4- FE — FF', 
P étant une fonction de c encore inconnue. 
Je différentie les deux membres par rapport à c qui est la seule 
variable qu’ils contiennent. Or ayant E (<p) —fkdtp, F (<p) = 
Д а = 1 —c s sin 2 (p, la différentiation donne 
Mais parles formules de l’art. 9, on a Г^|= pf^d<p 
c 2 sin Ф cos ф 
et dans le cas de = i ^ d 0 « 1 d s’agit, le second terme s’évanouit : 
ainsi on aura
	        
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