DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 69 
valeur de et devra être 
a = (i +h) (1+—)■ 
et alors l'équation différentielle se décomposant ainsi, 
d P __ f 1 1 ! j~] 
i-\~up* A Li+M Sin 2 <p 1 . C 2 . J ‘ 
1 r »—1 T ! _| sm 2 <p 
n 
son intégrale est 
n (-«) -f n (■£) — F + ^ arc tang (/') , 
formule très-remarquable au moyen de laquelle toute fonction IX 
dont le paramètre est plus grand que le module c, peut toujours 
être iransforme'e en une autre dont le paramètre sera plus petit 
que c; car des deux paramètres net —, il est évident que l’un est 
toujours plus grand que c et l’autre plus petit. Les fonctions IT qui 
se transforment ainsi l’une dans l’autre, ont d’ailleurs le même 
module c et la même amplitude c’est pourquoi, au lieu de les 
désigner par Il («, c, <p) , n (“* c y j nous les désignons sim 
plement par II (n) , Il en ne signalant que l’élément par lequel 
les deux fonctions diffèrent l’une de l’autre. 
La formule générale [f' ) appliquée aux cas de n = c et de 
«=: — c, fournit ces deux corollaires , 
n ( C ) — i F 4- pqr; arc tang ( ’- + ^ ? 
n (—c) = i F + ^- c arc tang (l ~ C ] tanE<?l . 
Ainsi dans ces deux cas, la fonction de troisième espèce se réduit 
immédiatement à une fonction de première espèce. 
(4y). Il y a trois cas a considérer dans la formule (/'), selon que et 
est positif, zéro ou négatif. 
Le coefficient a sera positif toutes les fois que le paramètre n sera 
positif, ou toutes les fois que « étant négatif, il sera compris entre