PREMIÈRE PARTIE. 
— i et — c* ; en d’autres termes cl sera positif si le paramètre n 
est de l’une des deux formes n-=.cot a ô, « =— i -{-¿ a sin a ô. Alors 
l’e'quation (f' ) contiendra un arc de cercle réel, et par celte 
équation on ramènera l’une à l’autre les deux fonctions II (h) , 
Dans ce premier cas, si l’on fait <p scs \ rt > on aura entre les fonc 
tions complètes cette relation 
П 
■(»)+ п '(т)=г , + 
7Г 
%\/л 
(48). Si Гоп fait et = о, on aura n = — i ou n c=s — c % , alors 
l’intégrale J'se réduisant à p, l’équation (_/' ) devient 
П(— .)+П(— c’) = F + 
Ce résultat est facile h vérifier ; on a en effet parles réductions déjà 
connues, 
n(- 
П(- 
)=/; 
*)=/: 
d<p 
A cos a <p 
d<p i 
Д 5 ’ F 
F — 
E — 
¡¡Е + ^Д tang (p 
sin <p cos <p 
~~¥Â * 
et la somme de ces deux quantités se réduit à F + —^ 
La fonction IT (— i) qui se ramène immédiatement aux fonctions 
de la première et de la seconde espèce , est celle qui donne la 
rectification de l’hyperbole (art. i3). Elle a une valeur infinie lors 
que (p = 4 tT , parce qu’alors elle représente la longueur totale de 
la courbe jusqu’à son extrémité infinie ; et c’est aussi ce que donne 
la formule précédente; mais cette formule serait en défaut si on 
voulait faire <p > | rt ; elle semblerait donner une valeur finie pour 
Il (— i), tandis que cette valeur , composée de la partie où <p = ±rt 
et d’une autre partie, est nécessairement infinie. C’est du moins 
ce qui parait résulter de la formule intégrale O (— i) considérée 
en elle-même, et sans rapport à aucune courbe ; car nous suppo 
sons toujours A positif. 
(49). Il reste à examiner le cas où л est négatif; ce cas aura lieu