DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 85
Soit ensuite <p , p', <p\ <p w , etc. la serie des amplitudes qui se dé
duisent chacune de la precedente par les formules
sin (2<p' Cp') ~ c sin <p
sin (ap*— p') = c siii p'
sin (2p’"— p") = c" sin <p s
etc.
011 formera de cette manière une suite infinie de fonctions de pre
mière espèce F (c , (p ), F (<?', (p'), F ( p”), etc., entre lesquelles
on aura
les équations
F(V,
F {c,p)
F( C ',
F («,<?') =
X-f-C
2
1-4-c
2
F (c,<p)
F ( c",
n m\ 1 “f" c "
’*)— a
F =
i+c
a
1+0'
2
•nr-FO.?),
etc.
d’où il
suit que deux quelconques de
ces
fonctions sont touji
entre elles dans un rapport constant pour toutes les valeurs des
amplitudes correspondantes.
Quant aux fonctions complètes , leurs rapports seront egalement
constans , et l’équation F 1 (cQ = (1 ) F 1 (c), déjà trouvée, don
nera successivement
î'M=(<+OF'W
F' (V) = (1 + c') F 1 «) = (1 +c) (i + e') F 1 (c)
F' (c*) = £i + c'|f*(c*) = (>+é (i + c 0 C I + c ") F‘ (c)
etc,
(60). On peut encore donner à ces résultats une plus grande
extension. En effet, la suite infinie de modules c , c', c", etc., qui
est croissante dans un sens, et qui a pour limite l’unité, peut être
prolongée à l’infini dans le sens contraire où elle sera décroissante
et aura pour limite zéro. Désignons par c , c°, c 00 °, etc. cette
suite décroissante *, la loi qui lie deux termes consécutifs sera
semblablement
ÎM/C* „ Q\/c° a oa 2 i/à 040
I+C 0 ’ J-|-C 000,
etc.