DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 85 
Soit ensuite <p , p', <p\ <p w , etc. la serie des amplitudes qui se dé 
duisent chacune de la precedente par les formules 
sin (2<p' Cp') ~ c sin <p 
sin (ap*— p') = c siii p' 
sin (2p’"— p") = c" sin <p s 
etc. 
011 formera de cette manière une suite infinie de fonctions de pre 
mière espèce F (c , (p ), F (<?', (p'), F ( p”), etc., entre lesquelles 
on aura 
les équations 
F(V, 
F {c,p) 
F( C ', 
F («,<?') = 
X-f-C 
2 
1-4-c 
2 
F (c,<p) 
F ( c", 
n m\ 1 “f" c " 
’*)— a 
F = 
i+c 
a 
1+0' 
2 
•nr-FO.?), 
etc. 
d’où il 
suit que deux quelconques de 
ces 
fonctions sont touji 
entre elles dans un rapport constant pour toutes les valeurs des 
amplitudes correspondantes. 
Quant aux fonctions complètes , leurs rapports seront egalement 
constans , et l’équation F 1 (cQ = (1 ) F 1 (c), déjà trouvée, don 
nera successivement 
î'M=(<+OF'W 
F' (V) = (1 + c') F 1 «) = (1 +c) (i + e') F 1 (c) 
F' (c*) = £i + c'|f*(c*) = (>+é (i + c 0 C I + c ") F‘ (c) 
etc, 
(60). On peut encore donner à ces résultats une plus grande 
extension. En effet, la suite infinie de modules c , c', c", etc., qui 
est croissante dans un sens, et qui a pour limite l’unité, peut être 
prolongée à l’infini dans le sens contraire où elle sera décroissante 
et aura pour limite zéro. Désignons par c , c°, c 00 °, etc. cette 
suite décroissante *, la loi qui lie deux termes consécutifs sera 
semblablement 
ÎM/C* „ Q\/c° a oa 2 i/à 040 
I+C 0 ’ J-|-C 000, 
etc.