DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. -85 
F(c, <p) = L±^F(C,r) 
F ( c°, <p‘) = r+ ‘°- F (c°°, <p”) 
F (e°°, î>°*) = -■ + a c °-°F (c°°% <p"°) 
etc. 
Lorsqu’on fait <p ;= | tT, on a <p° — tt , (p 08 = 27T, p oé ° = etc. ; 
d’où il suit que les fonctions complètes ont entre elles ces relations 
F 1 0) =(i + c )F 1 (c° ) 
F 1 (c°°) =(i+ c ooe ) F 1 (c°°°) 
etc. 
1Application de la même loi aux fonctions elliptiques 
de la seconde espèce, 
(61) . Considérons présentement les deux fonctions E ( c, <p ) = 
fdpÀ (c 9 <p) , E (</, <p') = fdp'A (c' 5 <p') ; si dans la seconde for 
mule on substitue pour dp' et A(c, p') les valeurs trouvées art. 58 ^ 
on aura 
(a-f-c E ( d, p') C c cos <P + A ) 4 
= 2E(c, <p) ¿“F (c, <p)-f-2C sin p ; 
d’où l’on voit que la fonction de première espèce F (c, p) peut 
s'exprimer par les deux arcs d’ellipse E (c, p), E (c\ p') } puis 
qu’on a 
b*F <p) = 2E (<7 J <p) — (2 -{- 2C )E(</, <p') -j-2C sin (p. 
(62) . On a trouvé (art. i5) que l’expression de l’arc d’hyper- 
bole est 
T sss A tang p— E (c, <p) + ¿ 2 F (c,p) ; 
si on y substitue la valeur de ¿ 2 F (c, <p) , cette expression deviendra 
T = A tang <p-f-E(c,cp) — 2(1 -f- c )E (c, (p') -f- 2c sin <p ; 
d'où il suit qu’un arc d’hyperbole peut toujours s’exprimer par deux.