(n2). En appliquant à cette formule les propriétés connues des
fonctions F , on en déduira aisément tous les théorèmes particuliers
auxquels Euler est parvenu dans le mémoire cité. Voici , par
exemple, deux de ces théorèmes ;
clr X T p QX T -f- X r+ P
où l’on peut observer que le second se déduit du premier, en
mettant r — p au lieu de p, et qu'ainsi il suffira de démontrer le
premier.
D'abord on peut mettre x à la place de x* r , ce qui ne change pas
les limites de l’intégrale; et cette substitution revient à faire 2/ == 1.
On aura donc à démontrer la formule
/ 'dx
xlx '
— — Ü —
dx x 2 ' — i3ar 2 -f- x
i+P
= logCOSyPTT.
Or j’observe que cette intégrale peut se mettre sous la forme
“ ^ P f jA»
rq-p) r(i + p)
Mais on a F 7 = V * , et F ( i — p) F ( ^ -j- p) =
Z = log cos pvr.
Des autres théorèmes donnés par Euler se démontrent avec la même
facilité ; mais le théorème suivant ne se trouve pas dans le mé
moire d’Euler, parce qu’il dépend d’une formule qui a été décou
verte postérieurement.