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CINQUIÈME PARTIE. § У. 209 
formules (28) ont passé par l’infini ayant d’arriver à la valeur finie 
qu’elles acquièrent à la limite x — vr, tandis que les intégrales ex 
primées par les formules (27), augmentent graduellement et en 
restant toujours finies , depuis la limite x = o où elles sont milles, 
jusqu’à la limite x= ?r, 
76. îl est facile, au reste, de vérifier l’exactitude des formules (28) 
par une analyse rigoureuse. 
En effet, désignons par Z (6) l’intégrale Г- xdxs ^-0'— ? prise 
^ COS OC J CO& p 
depuis x = o jusqu’à x= rt ; si l’on observe que ф (x) étant une 
fonction quelconque de x, l’intégrale fq> (x) dx , prise depuis x=o 
jusqu’à x=a, est la même que l’intégrale —x)-]~$(^a-\~x)]dx, 
prise depuis x = 0 jusqu’à x—\a y on aura 
(i-тг — x)dxcosx . (iTr-f-xjdx cos x' 
z ® 
OU 
Z (9) 
:7T COS 
q f* dx 
V cos 2 fl 
fl sin X 
dx cos x 
-sm 2 X 
-b 
; ) dx cos x\ 
— sin X ) 
f 
cos fl 
2xdx sin x cos X 
(X — O 
cos 2 
sin 2 X 
Soit sin x=ycos§ y la première partie deviendra tt C—,inlé-î 
j * y 
grale qui devra être prise depuis^ - = o jusqu’à y 
1 
cos fl 7 
У 
mais on 
sait par les formules de l’art. i3 que la même intégrale , prise depuis 
y = o jusqu’à y = co , est nulle , donc l’intégrale dont il s’agit 
est la même que tt , prise depuis y= ^~ 6 jusqu’à y = 00 ; 
elle se réduit par conséquent à - tt log 
11 reste à trouver la seconde partie f 0jXclx ^ n xcos x . or en faisant 
2x ~z , cette intégrale devient \ f— zdz f m z • e t comme elle 
° a J cos z -f- cosafl 7 
doit être prise depuis z = o jusqu’à z = tt , sa valeur sera repré 
sentée par ~ Z (28). On aura donc l’équation 
( 2 9) 
Z (S) s= i тг log + i Z (aê) ;