aïo EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL, 
d’où l’on déduit 
Z (0) -f- TT log (2 2 COS 0) = 7 [Z ( 20) 4- 7T log (2 2 COS 20 )]j 
mais si 4 (x) est une telle fonction de x, qu’on ait 4 (¿c) = 7 4( 2X)y 
on aura ^ (x) = 4 r (2#) , 4" ( x ) désignant De là on voit 
que 4 '(x) doit être une constante, et qu'ainsi en faisant 4/(x) = c, 
on aura 4 (x) = ex ~\~h, ou seulement 4 («^) = ex ; car l’équation 
4 (x) = 7 4 C 2,r ) exige qu’on ait 6 = 0. Gela posé, la fonction Z (0) 
devra satisfaire à l’équation 
Z ( 0 ) -J- TT log (2 — 2 cos 0 ) = c0 , 
et il ne reste plus qu’à déterminer la constante c. 
Pour cela j’observe qu’en faisant 0 = f7T , on aura cos 0=—7 
et cos 20 =— l ; de sorte que dans ce cas les deux fonctions Z (0), 
Zv (20) devant être égales , on aura par l’équation (29), 
Zf0) = - \7T + iZ (0); 
donc Z ( ~ tt ) = — tt £5 ; substituant cette valeur et celle de 
cos 0 dans l’équation précédente, on aura c = o; donc en général 
Z (0) ou l’intégrale cherchée 
/ ’ xdx sin x i / r\ \ 
; 5 = — TT log (2 — 2 COS 0 ). 
COS X + COS b o \ J 
On peut dans cette formule changer le signe de cos 0, ce qui 
revient à mettre tt — 0 au lieu de 0 , et on aura ainsi les formules 
(28) qu’il s’agissait de démontrer. 
77. Au moyen des formules ( 27 ) on peut parvenir à d'autres 
résultats non moins remarquables. Soit a— m (cos a4 - V / —1 sina)- 
si on fait {/( ‘— 1) = 7z ( cos Ç, + \/— 1 sin £) , on aura pour 
déterminer 72 et Q , les équations 
72 4 ~ 
tang 2^ 
ces valeurs donnent 
I 277Z 2 COS 2Ct 4- 772* 
m 2 sin 2es 
m cos 2 et ■ 
1 
1 
a + V — J ) = I —772COS a4-«COsé’4"(^ s i n ^‘” wsinct)^/— I.