CINQUIEME PARTIE. § VIII. 2 35 
Les formules que nous venons de démontrer sont dues à M. Burmann, 
professeur à Manbeim. Vojez le tom. II des Mémoires de l'Institut, 
pag. 14 et i5. 
§ YIII. Formules pour sommer un nombre donné de termes 
consécutifs dans le développement de ( 1 + a) 11 . 
106. Considérons d’abord la suite 
i -f- na -f- 
1.2 
■ 1 „ n.n 
- - 
-1. n—■3 
1.2.3 
a 3 . . . ,-f- 
.2...k— 
Æ-fa *_ t 
a K 1 
formée par les k premiers termes du développement de ( 1 +«)“, 
et supposons que q> (k) représente la somme de ces termes, il 
est évident qu'on aura 
<P (^-f- i ) 
*(*) = 
.11 — 2 .. .n & -+- 1 
1.2.3 k 
Considérons pareillement l’intégrale 
T ( k ) = f oc k ~ l dx ( 1 + x)~ n ~ l , 
prise depuis x-=o jusqu'à xz=a, et soit A (k) la valeur de cette 
même intégrale prise depuis x = o jusqu’à x = co, valeur qui 
est, comme on sait 
* A (70= 1.2.5 à— 1 _ r ( k ) r ( n — k 4-1 ) 
' ' 11.11 1 .11 2, . .11 —* k+i r(>-fi) 
La quantité x h (1 + x)~ n a pour différentielle 
hx k ~ l dx ( i + x)~ n ~ l — ( n — A) x k dx (1 + x)~ n ~ l , 
laquelle étant intégrée depuis x = o jusqu’à x=za 9 donne 
a k (1 -f- a)~ n =: AT (A) — {n — A) T (A+ 1). 
Faisant dans celte formule ¿z = co et supposant A </z, on en déduira 
o = AA (A) — (/z — A) A ( A -f- 1 ). 
Au moyen de ces deux équations, ou trouve 
T(ft) T(à-f-i) a k (i-±-d)~ n n.n—1 n—k~f-i 7 , , , \ 
*A00 = —itîtttx—«'(•+«) ”,