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EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
En effet, soit propose'e l’intégrale 
dx 
p = f 
J UC‘- 
t X’ = 
— î 
-f1 
zrxz+fW). y/(i — + 1) 
, i -f- r 2 z 2 — y 2 -J 
2ræz = r 2 , ou x = ^ , on aura la 
^ 7 2.rz 7 
d Y 
Si on fait i + r & z 
transformée 
P JL r. 
2 J Vty % — 1 + r 2 + Z 2 — rV ) 9 
d’où résulte l’intégrale indéfinie 
P = G -f- | log [ -/+ /(j 2 — 1 + r a + z a — /‘V)]. 
Les limites de lt étant lt =—= , celles de j sont 
y — I -l~ /’Z, y = i — rz ; on aura donc l’intégrale cherchée 
i 
P = î lo gùr._. 
1 + rz 1 1 1 -f- Z 
- = - log , 
z, z ° i — z 7 
ou 
2 + I z 2 + f z 4 + j z 6 + etc., 
quantité indépendante de r. 
Cette intégrale est celle de la différentielle 
dx (i+zrX'+zVX'+zVXM-etc.) (x + ÎX- 4- £x*+ % X 3 +etc.) ; 
et puisque r disparaît entièrement dans le résultat, il faut qu’on 
ait généralement, m et n étant inégaux, /X m X" dx — o. On voit en 
même temps que in et n étant égaux, on aura fX n 'X n dx = — > 
conformément au théorème énoncé. 
125. Lorsque m et n sont l’un pair, l’autre impair, le produit 
X m X" est une fonction impaire de æ ; alors il est évident que l’in 
tégrale /'X m X"ù.r, prise depuis æ ~—i jusqu’à æ = -f- î , doit 
être nulle. Mais si les nombres m et n sont tous deux pairs ou tous 
deux impairs, il n’est plus évident que cette intégrale doive s’éva 
nouir, et la propriété énoncée dans le théorème, paraît très-digne 
de remarque par sa grande généralité. 
Pour faire abstraction des cas évidens par eux-mêmes, on peut 
borner le théorème H à l’énoncé suivant.