CINQUIÈME PARTIE. § X. a'5i 
ce Quels que soient les nombres entiers ne t A , pourvu que k 
» ne soit ni = о , ni > j n, l’intégrale /X я X n ~* h dx , prise entre les 
» limites x =■ o, x = i 5 sera nulle ; si Гоп a к = о , 1 intégrale 
fX n X n dx, prise entre les mêmes limites, = 2n -Çl‘ 
126. Il suit de ce théorème que л, £,y, etc. étant des coeffi- 
ciens constans, on aura , dans les limites , x ~ o , x = 1 ; 
f (àX n—a H- 4- ^X" -5 + etc.) X"c£r = o. 
Mais le polynôme o.X” —2 -f- é > X”~' i 4 - yX n ~' 6 -f-elc., peut aussi etre 
représenté par un polynôme du même degré formé avec les puis 
sances de x , tel que ах п ~* -f- Q'x n ~ 4 -j- 4“ etc. 
Donc, quelles que soient les constantes et/, y r , etc., on aura 
aussi, entre les limites x = o, x=.i , 
/(a! x n ~* -f- £'x n ~ 4 -f- y'x n ~ 6 + etc.) X n dx = o , 
ce qui donne les équations 
(c) fx n ~*X n dæ — o , fx n ~ 4 X n dx = o , fx n ~ ç X n dx = o , etc., 
et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’exposant de x soit réduit à o ou 
à 1 , selon que n est pair ou impair. 
127. 11 est facile, d’après le théorème précédent, de trouver 
l’intégrale fX n x n dx, prise depuis x=o jusqu’à x=i; car si l’on 
fait X я = Ax n — Kr n ~ 3 -b Cx n ~ 4 — etc., 0:1 aura 
fX n X n dx ==fX n dx (Ax n —Bx n - a 4-C^ n " 4 — etc.) : 
Le premier membre se réduit à —^— ; le second 
C 271 -f- 1 
A fx n X n dx ; d'ailleurs par la formule (a), on a A = 7- 
donc 
se réduit à 
.3.5.. .3n—i 
.2.3. ... .71 * 
(d) 
fx n X n dx = 
1.2.З n 
1 . 3.5 ... 271 -f- 1 ’ 
mais cette formule n'est que particulière, et on peut généralement 
déterminer l’intégrale fx m X n dx par la proposition suivante.