s5 3 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
128. Théorème III. « Quel que soit le nombre m , entier on 
y) fractionnaire , pourvu que 1 *+/// soit positif, ou seulement 2 -\-m 
« si n est impair , l’intëgrale fæ m 'K n dæ, prise entre les limites x=o, 
» x = t , se déterminera généralement par l’une ou l’autre des 
» formules : 
/x m X 2 * ¿Ér = 
\ 
fx m X* k+r dx = 
771.771 2,771 4 m 2&+2 
777 + 1 .777+3.777+5. .. .777+2/l+l * 
777 1 . 777 3.777 5.. . .777—2&+1 
777+2.777+4.777 + 6. . . . 777+2/i+2 9 
» ou seulement par la formule 
(/) fx-X"dx = ?-"+»• »»-^£>»-».4+ ■ 
^ 777+77+ 1 . /77-j- 77 1 . 777+77 3 .... 777 + f Zfr ’ 
» dans laquelle le signe supérieur aura lieu si n est pair , et le signe 
» inférieur si n est impair. » 
Pour démontrer ces formules , il suffira de considérer des cas par 
ticuliers. Soit donc /7 = 6; on pourra supposer X 6 = Ax G — Bjc 4 
H” Cx 2 — D, et on aura dans les limites requises, 
Jx m X 6 dx 
A 
777 +7 
B 
777 +5 
+ 
c 
777 +3 
D 
777 + 1 * 
Mais d’après les formules (c), on sait que celte intégrale doit 
s’évanouir dans les trois cas /// = o , ni = 2 , /?/ = 4 ; elle aura 
donc la forme 
A'm (777 — 2 ) (777 —4) 
777+1. /77+3.777-j-5.777+7* 
Pour déterminer A' faisons m = 00 : l’intégrale — » 
n m+7 777 + 5 
C D . 1 
-+ g — - t deviendra — ( A — B -+ C — D), ou simplement 
—, puisque A —B-+C — D est la valeur de la fonction X 6 lors- 
777 
que or 
= 1 ; donc on a A'= 13 donc 
Cr m X 6 dr 777.777—2.777—4 _ 
J ~ L 777+1 . 777 + 3. /77 + 5.777 + 7 
Il est visible que la même démonstration est applicable à toute autre 
valeur de rc.