CINQUIÈME PARTIE. § X. 
Changeant le signe de p > on aura de même 
'i = î_ (r-e ~ « y 
— ap 2 y 2 ) J o.p j/a ^ r ' 
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/( V/(' 
+ p*-\r9.py — apy 
Donc l’intégrale cherchée W 
l’arc £ en fonction de sa tangente , on aura 
pV a 
; substituant l’expression de 
W 
V 3*1 
ay 
etc 
•> 
V/'( 1 -f- a) V,* 3 * 1 -f- a 5 ( 1 + a ) ! 
Comparant cette valeur avec celle que nous avons déjà exprimée 
par les intégrales Y n , on aura 
y* (— a ) k 
(afe-H 1) (1 +«) A + ÏÏ 
conformément au théorème qu’on voulait démontrer. 
Au reste ce théorème n’est remarquable que par la simplicité du 
résultat -, car si au lieu de X 2 * on prend un polynôme quelconque P 
de la forme Aa^-f-Ba: 3 *“ 3 -f- Ga: 3 *- 4 -f- etc., l’intégrale f ——7 
J (1 -fax 3 ) a 
pourra toujours se réduire à la forme fYdj, où Y sera de même un 
polynôme de la forme A'j ik -\-B'j 2k - 2 etc.; il suffit pour cela de 
fairejr = ou x ainsi cette intégrale, prise 
entre des limites quelconques, sera toujours une quantité algé 
brique. 
i33. Considérons de nouveau la fonction Z = ( 1 — 2xz~hz 2 }~ * ; 
si on la différentie successivement par rapport à x et par rapport 
à z, et qu’on fasse pour abréger, 1 — 2xz-j~z 2 =D 2 , on aura 
dZ z ddZ 3z 2 
dx D 3 * dx 2 ~ D 3 9 
dZ x — 
dx D 3 
(■- 
ddZ 
1 
3 (x 
dz 2 
D 3 1 D 5 
V ddZ . 
. ddZ 
Q.Z 2 
J dx- * du- - 
~ D 3 9 
dZ 
dZ 
2 z 2 
2X 7 2Z -y- Z 
dx dz 
~ D 3 * 
de là résulte