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EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
n 
i38. Si la dimension la plus élevée de x dans P égale ou surpasse 
• , ■ , d r+i X n d n X n „ r 
— r, soit r-f- v=.n, alors on aura == =1.3.5... 2n—1; 
et l’équation ( p ) donnera y en substituant Ja valeur de A et ré 
duisant , 
, \ r , o\»* d'X n ^ r n—r+i • n—r-f 2 ... n-\- r r, „ s _ d n ~'V 
(s) f( 1 —xy -j-y Vax = c - ^ 
v J J ' ' a.x r 2.4.0.. .2/z 
. p rt n ~ r V 
/(— 
Soit, par exemple ^ P = ÆX n_r -f- hx n ~ r ~ x -f- cx n_r_a -{-etc., on aura 
d n ~ r P _ . , - - . 2.4*6 m 
-7-7—7 =1.2.5 «—r.a, et /¿Le (1—x a ) n = 2.5-p ;— ; 
dx n r 7 J v ' 0.0.7 2/1-f-1 
donc entre les limites x = — 1 ? x = -{- 1, ona 
(0 
fÇi—x') r ^Xpdx: 
1.2.3. .. .71 -f 
3.5.7. . • 2rt + 1 
.2«. 
Si l’on a simplement P = ax n ~ r -f- cx n r 2 -f- ex n ~ r ~‘ i -f- etc. ? 
ensorle que les fonctions P et soient toutes deux paires ou 
toutes deux impaires } la formule précédente aura également lieu 
pour les limites x = o, x = 1, pourvu qu’on prenne Ja moitié du 
second membre ; alors on aura 
0) 
/( I— •*"“)'7EF Vdæ 
1 . 2.3 . . . . 72—(—r 
3.5.7. . . 2/l-j— 1 
.a. 
(x = o 
Rr r= 1 
i3g. Les fonctions X" offrent encore une autre propriété fort 
remarquable. Si Pon fait x = cos ¿y cos 4 -f- sin « sin 4 cos Q } et 
qu’on prenne l’intégrale fX n d§ depuis ô = o jusqu’à ô = tt , on 
aura successivement 
/Xv/Ô = 7T COS « COS 4 , 
/X a (iô = TT ( f cos 2 « 1 ) ( I COS 3 4 i ) > 
fX?dQ s= 7T (f cos 3 « f COS «) ( I COS 3 4 | COS 4 ) > 
etc. 
En général si on fait cos « = p , cos 4 — </? et qu’on désigne par 
P n la même fonction de p que X n est de x, et par Q ra une fonction 
semblable de <7 , on aura généralement , 
(x) /X”<$ = «P"Q“. { 
== O 
= T