264 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
3°. Enfin les différentielles prises par rapport à 0, déduites des 
différentielles prises par rapport a y } donnent semblablement 
dy ... . û dV 
= — sm q, sin &)sm o 
dû 
ddY 
dê* 
dy ’ 
* a f * a * a A ^dY • . • A dV 
= sm a -\|/ sm a a> sm 1 y sm-q, sinœcos t) . 
Au moyen de ces équations, il est aisé de trouver que la quantité 
d( i — x*) dY 
dx- 2 
+ ^- d -^’ se M * ('-ri d -ÿ-V- Ay 
dy ’ 
OU 
d ( i — y 2 ) dY 
dy 2 
; et comme en vertu de l’équation ( a' ) ,, cette 
dernière quantité = — ( - ? on aura l’équation suivante , où Y 
est considérée comme fonction des trois variables x , 0 et /•, 
(*') 
d ( i — x 2 ) d Y 
dx 2. 
+ 
ddY d. r a dV 
■dF + ~dF“ :=:0 - 
Cette équation ne change pas en mettant 0 — cp à la place de 0 , 
et regardant (p comme constante ; ainsi nous pourrons la regarder 
comme exprimant une propriété générale de la fonction Y, dans 
laquelle on a fait y = cos œ cos 4, -J- sin ca sin ^ cos (0 — <p ) et 
cos >yf, == x. 
Il restera dans celte hypothèse, trois quantités considérées comme 
constantes dans la fonction V, savoir z, ca et <p. 
i4ï. Maintenant si dans Eéqualion (h') on substitue au lieu de Y, 
sa valeur développée ~ Y 1 -f- ~ Y 2 -j- z — Y 3 -f- etc., Y m étant 
la même fonction de y que X m est de x, suivant les dénomina 
tions du § précédent, on trouvera que chacun des coefficiens 
Y 1 , Y% Y% etc. est assujéli à une condition particulière , et que 
l’expression générale de cette condition est 
M 
d (i—x 7 ) dY" 
dx 2 
+ 
1 XX 
ddY” 
d6 2 
+ m ( m -f- i ) Y m = o. 
Mais puisqu’on a y x=z cos œ cos 4 -|- sin cû sin ^ cos (0 — 
<P), et 
que