EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
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§ XII. Du développement de la puissance (i4-a a —- 2a cos(p)~ n , 
n étant un nombre fractionnaire. 
i52. On peut toujours supposer « <7 1 , car si on avait a > 1 , 
on ferait a=. x -^ et la quantité (1 + a? — 2a cos cp ) n se changerait 
en (1 4-' & 2 — aa cos <p)~ n f où l’on a cl < 1. 
Cela posé,, on a vu dans la III e Partie , pag. 3y2 et suiv., que si 
on fait i -f- — 2a cos <p = D, et qu’on suppose 
D~"= P 0 + aP, cos (p + 2P a cos 2<p + 2P3 cos 3<p + etc., 
la valeur du coefficient général P (A) pourra être exprimée par une 
intégrale définie, de cette manière ; 
(■) 
On a trouvé de plus que ce même coefficient peut s’exprimer 
par la formule 
( 2 ) 
1.2 * A-4-1.A4-3 
Cette suite se termine d’elle-même lorsque n est un nombre entier, 
et nous verrons ci-après qu’on peut la mettre sous une forme telle 
qu’elle se termine encore lorsque n est un nombre entier négatif ; 
ainsi le développement de D — " n’est sujet à aucune difficulté lorsque 
n est un nombre entier positif ou négatif. Il n’en est pas de même 
lorsque n est, comme nous le supposons , un nombre fractionnaire ; 
alors la suite qui exprime la valeur de P (à) , s’étend à l’infini, et on 
ne peut plus déterminer que par approximation les coefficiens suc 
cessifs P c , P,, P a , etc. qui deviennent dans ce cas des transcendantes 
d’une nature particulière. Nous allons rechercher les propriétés de