CINQUIÈME PARTIE. § XII. 
belle transformation j est contenue dans l’équation 
tang (~(p — i <p° ) = h cot | (p. 
Mais pour qu’il n’y ait pas lieu à ambiguité, quand on veut déter 
miner cp° par le moyen de <p , il faut imaginer que Tare <p augmente 
indéfiniment depuis la valeur zéro jusqu’à tant de circonférences 
qu’on voudra. Cela posé, l’arc (p° devra satisfaire à l’équation 
sin [cp j 7T — ) = a sin ( \ rt -f- t <P°) > d’où l’on voit qu’en dé 
signant par G le plus petit des arcs qui ont a pour sinus, la quantité 
q> -f- x ~ — ~ (p° sera toujours renfermée entre les limites -f-G et 
— G , de sorte qu’on pourra supposer (p° = -f- 71 -f- G sin A , 
A étant un angle qui varie avec <p ; c’est aussi ce qui résulte de 
la série 
j <p° = ~ 7T -f- <p + a fi in <P + j ci % sin 2p -f- ^ a 3 sin 5<p -f- etc. 
Maintenant comme a° sera toujours plus petit que «, puisqu’on a 
= 1 UO—i a fonction (D°)* se développera en une suite 
1 4-l/(i—a) 
L 0 + 2bj cos 2L t cos2(p 0 + 2L3 cos 5<p° -f- etc., 
dans laquelle le coefficient L (k) est en général la valeur de la 
fonction P( k, n) , lorsqu’on fait n =— \ et qu’on met a 0 au 
lieu de a. 
Dans le cas de l’exemple III, on a a° ~ o. i83o8 ; ainsi la suite 
L oî L t , L 2 , etc. doit être fort convergente ; on trouve en effet le 
terme L 10 = 0.00000 00007 7^3. 
Cette suite étant trouvée, le développement de D 2 , ordonné 
suivant les cosinus des multiples de <p°, sera 
L 0 4- sL, cos <p°+ 2L a cos 2p°~h 2L3 cos 3<p°+etc. 
+ 2|/a°.sin f q>° 
} 
{ 
(28) D” T = 
(1— 0(1+a°) 
On pourrait , pour plus de symétrie , mettre au lieu du terme 
2 \/a 0 . sin j <p°, sa valeur 
2 COS(p° 2 COS 2<p° 2 C0s3<p° 
1.3 3.5 5.7