CINQUIÈME PARTIE. § XII. Sog
valeurs peuvent se déterminer par le moyen de deux transcendantes
seulement, pour lesquelles on peut choisir deux termes consécutifs,
tels que P (/c, n ), P ( k -f- i, n ) ou P ( k 9 n ), P ( k, n ~f- i ).
III. Il en est de même des coefficiens différentiels ---4-’ .
cia
d 2 P(A zî) d 3 V(*,n) . , r . i , , , .
— 3 etc. a 1 mlmi, lesquels peuvent, dans les memes
cas , être déterminés entièrement par les deux mêmes transcendantes.
Celle propriété que les fonctions P (A, n) partagent avec les fonc
tions elliptiques complettes F r c, E r c, n’a pas lieu dans un grand
nombre de transcendantes , et notamment dans les fonctions log Ta,
dont les coefficiens différentiels successifs offrent des transcendantes
différentes de la fonction principale.
IV. Les deux mêmes transcendantes qui déterminent les diverses
valeurs de la fonction P(A,7ïdhÆ),AetÆ étant des entiers quel
conques, peuvent aussi servir à déterminer la fonction P (A, i—jidzk),
ou simplement P ( A , rfc Æ — n).
Ainsi, en général, les deux transcendantes par lesquelles on peut
effectuer le développement de D~", serviront aussi à effectuer le dé
veloppement d’un terme quelconque des deux suites
D~" +3 , D“" +a , D-" +I , D~" , D~ n-t , D~"-% D~"~ 3
' D" +a , D" +1 , D" , D -,+ ", D _2+ ", D~ 3+ ", D _4+ "
Y. Quel que soit l’exposant n, pourvu qu’il soit positif, la valeur
du coefficient différentiel d'un ordre quelconque —- sera
toujours positive.
VI. La plus simple des transcendantes désignées par P ( A, n ) ,
eslP(o, n)-, si on la désigne par 4 ( 7Z ) ou 4> sa valeur sera
donnée par l’une ou l’autre des deux formules suivantes :
(Bo)
, . . , /n\ a /n.n-f-iV x , /n.n-\-i .ra-f2\ a
+(»>=>+(7) «•+ (-TT-) “*+(—.T3-" ) a+etc -‘
+(n) =C l _a7-”[.+(2=i)V+(i^=î)V+(
n— 1. n—s. n—3'
1.2.3
p+etc].
VII.Il résulte de la deuxième propriété qu’au moyen des deux fonc
tions consécutives 4 ( n ) > 4 ( n ~h J ) 5 011 pourra en général exprimer
exactement la transcendante P (A, n) , et plus généralement la trans-
